2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два прямоугольника
Сообщение25.01.2014, 11:47 


26/08/11
2057

(Оффтоп)

Не уверен что точный раздел, но не хотел в "олимпиадных", я сам до конца не разобраться.

Прямоугольники с размерами $2415\times 1768 \text{ и } 595\times 3588$ обладают следующими свойствами:

- Их стороны и диагонали - взаимнопростые целые числа.
- Их периметры равны.
- Площадь первого в два раза больше площади второго.

Найдите другая такая пара.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два прямоугольника
Сообщение27.01.2014, 10:43 


26/08/11
2057
Сформулирую иначе, без этих чисел.
Нетрудная задача: Два прямкоугольника с целыми длинами сторон. Их периметры равны, а площадь первого в два раза больше площади второго. Доказать, что длина диагонали первого - тоже целое число.
И естественно возникает вопрос: А может ли при этом и длина диагонали второго быть целым?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два прямоугольника
Сообщение28.01.2014, 10:46 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Задача сводится к следующей:
найти такие $m > n$, что $m(m+n) \text{ и } n(m-n)$ являются катетами пифагорова треугольника. $m, n$ - натуральные, взаимнопростые, разной четности
В частности, прямоугольники с размерами $2415\times 1768 \text{ и } 595\times 3588$ соответствуют $m=52, n=17$
При $m<10000$ других решений нет, но дальше их количество довольно велико.
Например, для $m<20000$ находятся еще три пары:
$(17819, 4292) \text{: } 299095497\times 152958296$ и $393995909 \times 58057884$
$(18992,6461)\text{: }318951543\times 245414624$ и $483403376 \times 80962791$
$(19285,12606)\text{: }212999989\times 486213420$ и $615017935 \times 84195474$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два прямоугольника
Сообщение28.01.2014, 11:03 


26/08/11
2057
Cash, с первой частью согласен, с второй - нет. Ни один из трех примеров не является решением.

-- 28.01.2014, 10:07 --

Диагонали почти целые, но...почти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два прямоугольника
Сообщение28.01.2014, 11:22 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Проблема с округлением, видимо. Что-то не подрасчитал, не думал, что это актуально.
Ок, сейчас скормим нормальной системе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два прямоугольника
Сообщение28.01.2014, 16:30 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
А в чём проблема? Берём точку (предоставленную Shadow) и удваиваем её на соответствующей эллиптической кривой. И получаем таким образом бесконечно много точек.

Вот, собственно: $m=1321690260436$, $n=1768958362271$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два прямоугольника
Сообщение28.01.2014, 17:12 


26/08/11
2057
nnosipov в сообщении #819993 писал(а):
А в чём проблема? Берём точку (предоставленную Shadow) и удваиваем её на соответствующей эллиптической кривой. И получаем таким образом бесконечно много точек.
Вот, собственно: $m=1321690260436$, $n=1768958362271$.

Тут проблема в том, что $m<n$, в результате одна сторона будет отрицательной. (Как и например при $m=1,n=4$ что дает решение в целых, но не в натуральных.) Но путь к решению такой же.

Задача сводится к решению в рациональных уравнения:
$y^2=(x^2+x)^2+(x-1)^2$. Тут $x=\frac m n$, причем подходят решения $x>1$ или $x\in (-1,0)$ так как если $(x,y)$ является решением, то и $(-\frac 1 x,\frac{y}{x^2})$ тоже.

Я сделал замену (не знаю удачную ли) $y=x^2+x-s$, что привело к кв. уравнению

$(2s+1)x^2+2(s-1)x+1-s^3=0$ с дискриминантом $2s^3+2s^2-4s$
И удваивал точку $(-1,2)$ на кривой $t^2=2s^3+2s^2-4s$

Первый раз получлось $s=\dfrac 9 8,t=\dfrac{15}{16}$ что соответствует $x=-\dfrac{17}{52}$ - известное решение, последующее удваивание дало $s=\dfrac{43681}{7200}$ или

$x=\dfrac{571663}{436440}$

Попытки найти более красивую точку не удались. (или получалась она, или неподходящие)
Попытки хоть частичной параметризации - тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два прямоугольника
Сообщение28.01.2014, 17:16 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Shadow в сообщении #820009 писал(а):
Тут проблема в том, что $m<n$, в результате одна сторона будет отрицательной.
Да, я на это не обратил внимание.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение28.01.2014, 17:28 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Загадки, головоломки, ребусы» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Два прямоугольника
Сообщение01.02.2014, 16:23 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Редко бываю на форуме, но очень рад, что решение таких задач связывается с эллиптическими кривыми.
Сама задача просто блеск.
Параметрическое решение - это решение уравнения $y^2=(x^2-2)(x^2+4)$
Не думаю, что это просто.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group