2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение23.01.2014, 17:03 


23/01/14
19
Здравствуйте. Никак не могу понять, что такое факторпространство и ядро линейного функционала.
Приведите, пожалуйста, какие-нибудь примеры из геометрии (трехмерное Евклидово пространство).

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение23.01.2014, 17:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10852
Казань
Попробуйте в качестве оператора взять проекцию. Скажем, на плоскость, параллельно некоторому вектору. Даже просто проекцию на плоскость $Oxy$ параллельно оси $z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение23.01.2014, 18:59 


19/05/10
24/05/17
3820
Россия
spacer в сообщении #818308 писал(а):
Здравствуйте. Никак не могу понять, что такое факторпространство и ядро линейного функционала.
Приведите, пожалуйста, какие-нибудь примеры из геометрии (трехмерное Евклидово пространство).

Давайте не так.
Приведите сами какие-нибудь примеры линейных функционалов из геометрии, а мы поможем с ядрами (и этими ужасными факторпространствами)

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 06:43 


23/01/14
19
provincialka в сообщении #818327 писал(а):
Попробуйте в качестве оператора взять проекцию. Скажем, на плоскость, параллельно некоторому вектору. Даже просто проекцию на плоскость $Oxy$ параллельно оси $z$.

Все равно не понял, где здесь факторпространство и где ядро. Приведите, пожалуйста, примеры и укажите, где там фактор-пространство и где ядро. Может до меня дойдет тогда.

mihailm в сообщении #818372 писал(а):
Давайте не так.
Приведите сами какие-нибудь примеры линейных функционалов из геометрии, а мы поможем с ядрами (и этими ужасными факторпространствами)


Евклидова норма трехмерных векторов.

Вот читаю у Колмогорова (да и в десятке другом книг). Привожу, чуть вырезав.
Цитата:
Пусть $L$-линейное пространство, а $L'$-некоторое его подпространство. Два элемента $x$ и $y$ из $L$ эквивалентны, если их разность $x-y$ принадлежит $L'$. Это отношение разбивает все $x$ из $L$ на классы. Класс эквивалентных элементов называется классом смежности (по подпространству $L'$). Совокупность всех таких классов называется фактор-пространством $L$ по подпространству $L'$.

Рассуждаю.
Как примеры подпространств трехмерного пространства могу привести: плоскости, отрезки, больше в голову не приходит (может дадите еще примеров). Вот нарисовал как разность одной пары векторов и разность другой пары векторов лежат в одной плоскости(которая есть подпространство трехмерки):
Изображение
Есть вектора, разности которых лежит в других плоскостях. Для каждой плоскости имеем свой класс векторов, разность которых лежит в ней. Дальше я не понимаю, где здесь фактор-пространство.

Теперь функционал (опущу "линейный" для краткости).
Цитата:
Назовем ядром $J(E)$ произвольного множества $E ⊂ L$ совокупность таких его точек $x$, что для каждого $y ∈ L$ найдется такое число $e=e(y)>0$, что $x+ty ∈ E$ при $|t|<e$. Выпуклое множество, ядро которого не пусто, называется выпуклым телом. В трехмерном Евклидовом пространстве куб, шар, тетраэдр представляют собой выпуклые тела.


Для примера куба в трехмерном пространстве, $L$-трехмерное пространство, $E$-сам куб. $y$ - в общем случае точка трехмерного пространства, которая не обязана быть внутри или на границе куба, но может быть вне его. Что такое $x$, я не могу представить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 06:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10852
Казань
Много всего написано, но вот как раз про функционалы - ничего.
spacer в сообщении #818537 писал(а):
Евклидова норма трехмерных векторов.
Это функционал. Но нелинейный. Я, кстати. тоже не совс\ем тот пример привела: более общий, а именно - оператор. Но функционал - частный случай оператора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 07:10 


23/01/14
19
provincialka в сообщении #818540 писал(а):
spacer в сообщении #818537 писал(а):
Евклидова норма трехмерных векторов.
Это функционал. Но нелинейный.

Скалярное произведение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 07:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10852
Казань
Скалярное произведение имеет 2 аргумента, оно билинейно. А вам нужен один. Например, кординатный: $(x,y,z)\to x$. Собственно, при подходящем выборе базиса любой функционал будет выглядеть именно так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 07:23 


23/01/14
19
provincialka в сообщении #818540 писал(а):
Много всего написано, но вот как раз про функционалы - ничего.

Мне бы понять сначала фактор-пространство, может я его неправильно понимаю. Пример с плоскостью на рисунке правильный вообще или нет?
Отношение, разбивающее на классы для фактор-пространства, это "принадлежность разности точек пространства к какому-то его подпространству". Если посмотреть на рисунок как пример геометрии в Евклидовом пространстве, то видно, что:
1) разность каждого вектора из$ L$ с самим собой лежит в той же плоскости.
2) разность векторов $x-y$ и $y-x$ имеют разные знаки, но лежат в одной плоскости.
3) если $a-b $ и $b-c$ лежат в одной и той же плоскости, то $a-c$ лежит в той же плоскости
Вроде есть эквивалентность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 07:28 
Заслуженный участник


11/05/08
30754
Линейный функционал в обычном пространстве (и вообще в любом конечномерном) -- это всегда проекция (скалярная) на какую-то ось. Проекция не обязательно ортогональная, но раз уж нужен именно пример, то проще взять именно ортогональную.

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 07:29 


23/01/14
19
provincialka в сообщении #818548 писал(а):
Скалярное произведение имеет 2 аргумента, оно билинейно. А вам нужен один. Например, кординатный: $(x,y,z)\to x$. Собственно, при подходящем выборе базиса любой функционал будет выглядеть именно так.

Такой функционал: абсолютное значение проекции вектора на ось Ox (ewert опередил). Сумма проекций равна проекции суммы, умножение проеции на скаляр равно проекции вектора, помноженного на скаляр. Вспомнил из учебника Шипачева.

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 07:31 
Заслуженный участник


11/05/08
30754
spacer в сообщении #818553 писал(а):
абсолютное значение проекции вектора на ось Ox

Не абсолютное -- это уже нелинейность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 07:32 


23/01/14
19
ewert в сообщении #818554 писал(а):
spacer в сообщении #818553 писал(а):
абсолютное значение проекции вектора на ось Ox

Не абсолютное -- это уже нелинейность.

Ах да, точно.

-- 24.01.2014, 07:34 --

То есть ядро такого функционала (проекции) - векторы, ортогональные оси, на которую они проектируются?

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 07:38 
Заслуженный участник


11/05/08
30754
spacer в сообщении #818555 писал(а):
ядро такого функционала (проекции) - векторы, ортогональные оси,

Естественно. Т.е. соотв. плоскость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 07:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10852
Казань
spacer в сообщении #818537 писал(а):
Как примеры подпространств трехмерного пространства могу привести: плоскости, отрезки,
Отрезок - точно не подпространство. И плоскость - не всякая. Раз возникло слово "линейность", значит, исходное пространство - векторное. Геометрически удобно считать, что векторы отложены от фиксированной точки. Тогда их концы описывают какое-то подмножество точек $\mathbb R^3$. Какие подмножества будут соответствовать подпространствам?

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 09:01 


23/01/14
19
provincialka в сообщении #818559 писал(а):
Отрезок - точно не подпространство. И плоскость - не всякая.

Прямая, точнее. Сумма двух векторов на прямой будет лежать на прямой, масштабированный вектор тоже будет лежать на прямой. То же для плоскости. Если это не подпространства, то нарушены какие-то из 8-ми свойств операций сложения и умножения на скаляр?

-- 24.01.2014, 09:03 --

provincialka в сообщении #818559 писал(а):
Геометрически удобно считать, что векторы отложены от фиксированной точки. Тогда их концы описывают какое-то подмножество точек $\mathbb R^3$. Какие подмножества будут соответствовать подпространствам?

Плоскость, проходящая через зафиксированную точку?

-- 24.01.2014, 09:05 --

ewert в сообщении #818557 писал(а):
spacer в сообщении #818555 писал(а):
ядро такого функционала (проекции) - векторы, ортогональные оси,

Естественно. Т.е. соотв. плоскость.

А где у куба - то ядро, никак не пойму?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group