2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 09:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11033
Казань
Прямая - другое дело. Для отрезка нарушено правило умножения на скаляр: он же конечен. И вообще, отрезок состоит из точек, а не из векторов. Как вы будете точки отрезка складывать? Умножать на 2?

Когда мы говорим о геометрической интерпретации, нужно различать аффинное и векторное пространство, т.е. точки и векторы. Если откладывать векторы от одной точки, то и подпространства (прямые, плоскости) тоже будут проходить через эту точку. Другие плоскости не годятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 10:36 
Заслуженный участник


11/05/08
31050
spacer в сообщении #818566 писал(а):
А где у куба - то ядро, никак не пойму?

Нигде (ну разве что его распилить -- может, внутри какое ядрышко и сыщется). При чём тут куб?

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 11:19 


23/01/14
19
ewert в сообщении #818580 писал(а):
spacer в сообщении #818566 писал(а):
А где у куба - то ядро, никак не пойму?

Нигде (ну разве что его распилить -- может, внутри какое ядрышко и сыщется). При чём тут куб?

Вот причем (пример у Колмогорова):
Цитата:
Назовем ядром $J(E)$ произвольного множества $E ⊂ L$ совокупность таких его точек $x$, что для каждого $y ∈ L$ найдется такое число $e=e(y)>0$, что $x+ty ∈ E$ при $|t|<e$. Выпуклое множество, ядро которого не пусто, называется выпуклым телом. В трехмерном Евклидовом пространстве куб, шар, тетраэдр представляют собой выпуклые тела.

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 11:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11033
Казань
Что-то вроде внутренности множества. Правда, почему-то $e$ зависит от $y$. Какое-то более слабое определение. Но для куба это точно, внутренность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 12:17 


23/01/14
19
А что насчет фактор-пространства? Может кто-нибудь привести пример и указать, где там пространство, где подпространство и где фактор-пространство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 13:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11033
Казань
Мочь-то мы можем, но полные решения не разрешены.
Ну ладно. Если функционал - координатная функция $f((x,y,z))=x$, то ядро - те вектора, которые переходят в 0. То есть вектора координатной плоскости $Oyz$. К такой плоскости мы можем прибавить произвольный вектор, получим плоскость, параллельную ядру. Все такие параллельные плоскости и образуют фактор-пространство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 13:41 


23/01/14
19
provincialka в сообщении #818616 писал(а):
К такой плоскости мы можем прибавить произвольный вектор, получим плоскость, параллельную ядру.

Что значит прибавить произвольный вектор к плоскости - к каждому вектору плоскости прибавить этот вектор? (тогда не плоскость получится вроде бы).

-- 24.01.2014, 13:42 --

provincialka в сообщении #818616 писал(а):
Мочь-то мы можем, но полные решения не разрешены.

Да мне не задачу надо решить, а понять определения. Я читал главу про фактор-пространства в десятке книг. Нормальных понятных примеров не нашел.

-- 24.01.2014, 13:51 --

Классы рациональных чисел, разность которых равна целому числу, образуют фактор-пространство? Я верно понимаю? Классами будут (..., 1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1, ...), (..., 1.2, 2.2, 3.2, 4.2, 5.2, ...)?
Получается фактор-пространство - пространство таких классов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 13:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11033
Казань
Верно понимаете.
И насчет прибавления вектора верно понимаете. А почему не плоскость? Не подпространство - это точно. Потому что не обязано проходить через 0. Ведь вектор (прибавление вектора) - это сдвиг, параллельный перенос.

-- 24.01.2014, 15:06 --

spacer в сообщении #818625 писал(а):
Получается фактор-пространство - пространство таких классов.
Да. Часто можно отождествить его с другим, более простым пространством. Например, выбрать в каждом классе представителя. Для вашего примера это может быть полуинтервал $[0;1)$, тогда класс каждого элемента определяется его дробной частью. А все действия будут производиться по модулю 1.
В моем примере фактор-множеством можно считать ось $Ox$. Или любую другую прямую, не лежащую в ядре.

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 14:41 


19/05/10
3836
Россия
spacer в сообщении #818593 писал(а):
...
Цитата:
Назовем ядром $J(E)$ произвольного множества $E ⊂ L$ совокупность таких его точек $x$, что для каждого $y ∈ L$ найдется такое число $e=e(y)>0$, что $x+ty ∈ E$ при $|t|<e$...

Это не то ядро (не той системы)

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 14:51 


23/01/14
19
provincialka в сообщении #818630 писал(а):
Верно понимаете.
И насчет прибавления вектора верно понимаете. А почему не плоскость?

Если понимать под операцией "сложение" сдвиг, то будет плоскость, а если обычное сложение векторов, то переместится только конец вектора, а не сам вектор.

-- 24.01.2014, 14:52 --

mihailm в сообщении #818652 писал(а):
spacer в сообщении #818593 писал(а):
...
Цитата:
Назовем ядром $J(E)$ произвольного множества $E ⊂ L$ совокупность таких его точек $x$, что для каждого $y ∈ L$ найдется такое число $e=e(y)>0$, что $x+ty ∈ E$ при $|t|<e$...

Это не то ядро (не той системы)

Ошибка в книге?

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 14:58 
Заслуженный участник


23/07/08
6879
Харьков
Нет.
Вот Вам ещё одно ядро.
В математике в силу её абстрактности дефицит сочных ёмких образных терминов.

-- Пт янв 24, 2014 14:12:25 --

Пример provincialka с проекцией, очень наглядный, хоть там и не функционал.

Оператор переводит вектор в его ортогональную проекцию на плоскость. Представьте горизонтальную плоскость. Сверху светит солнышко, оно в зените. Начало вектора — в начале координат, а конец, например, торчит куда-то наклонно вверх. Проекция вектора на плоскость — его тень.
Оператор переводит вектор в его тень.
Если вектор направлен куда-то вниз... ну, считайте, что для таких векторов солнышко светит снизу.

Ядро: множество всех векторов, у которых тень равна нулю. Что это?
Множество вертикальных векторов.

Назовем два вектора эквивалентными, если у них совпадает тень.
Тогда класс эквивалентности — множество векторов с совпадающей тенью. Что это?
Множество векторов, концы которых точно друг над (под) другом. Назовем это вертикальный столбик.

Тогда фактор-пространство — множество всех таких множеств векторов с совпадающей тенью. Что это?
Множество вертикальных столбиков.

Это фактор-пространство по ядру оператора. А можно было построить фактор-пространство по образу оператора, это было бы множество горизонтальных плоскостей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 15:36 


23/01/14
19
Спасибо всем за ответы. Буду разбираться дальше, пробовать находить примеры до полного прояснения. Жесткая абстракция. Остался вопрос. В каким учебниках этот вопрос разъяснен более доходчиво, детально, сами вы по каким книгам доходили или донимали преподов? И названия задачников подскажите. Я уже довольно много чего закачал, но может чего из нового не видел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 21:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11033
Казань
Пример provincialka с проекцией, очень наглядный, хоть там и не функционал
Вроде я исправилась и во второй раз был именно функционал, первая координата. Это же число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение24.01.2014, 23:52 
Заслуженный участник


23/07/08
6879
Харьков
А мне именно этот понравился. Я бы его сам привёл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Примеры факторпространства и ядра (геометрические)
Сообщение26.01.2015, 10:27 


23/01/14
19
Прошел год, много чего читал. Вопрос - правильно ли я понимаю термин фактор-множество.
1) Имеется плоскость. Выберем на плоскости прямую. Все прямые, параллельные данной прямой, образуют класс в смысле множества прямых, удовлетворяющих отношению "каждая прямая класса параллельна любой другой прямой этого же класса". Фактор-множество - множество таких классов параллельных прямых, ведь мы можем взять другую прямую и она будет представителем другого класса параллельных прямых.
2) Отношение - подобие треугольников на плоскости. Каждому произвольному треугольнику соответствует класс (бесконечное множество) треугольников, подобных ему. Если взять и повернуть треугольник, скажем, на 10 градусов вокруг одной из вершин, то получим другой класс подобных ему треугольников. Причем треугольники, входящие в первый класс никак не могут одновременно входить и во второй класс. Фактор-множество по подобию треугольников - множество всех таких непересекающихся классов подобных треугольников.
Правильно ли я привел понятие фактор-множества в этих примерах?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group