2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 22:29 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
ТС поступил умнее всех — поучив разъяснение по непонятному месту, ушел дальше читать учебник. Это потом уже кое-кому не понравилось, что для доказательства равенства нулю многочлена у него хитрым образом сосчитали коэффициенты, и предложил вместо этого найти у этого многочлена настолько большое множество нулей, которое бывает только у нулевого многочлена.

Xaositect
Плотно где и в какой метрике-топологии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 22:29 
Заслуженный участник


14/03/10
867
ewert в сообщении #817654 писал(а):
А я тоже не понял: чего, собссно, д-во?...
:shock: гладкости решения уравнения Навье-Стокса, разве мы о чем-то еще тут говорили? :shock: Над "рациональным кольцом"... :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 22:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Xaositect в сообщении #817657 писал(а):
Множество матриц, на которых какой-то многочлен не равен нулю - плотно.

Ну и с какой стати оно плотно?... -- это уже посторонняя (ну или потусторонняя, как угодно) теория.

-- Вт янв 21, 2014 23:32:07 --

(Оффтоп)

patzer2097 в сообщении #817661 писал(а):
Над "рациональным кольцом"... :shock:

Ну Вы ж наверняка поняли, что имелось в виду; ну не надо уж так-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 22:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
ewert в сообщении #817654 писал(а):
А я тоже не понял: чего, собссно, д-во?...

Я понял только одно: что мы все тут уже пошли вразнос, безотносительно к ТС.
А почему бы и не поговорить безотносительно ТС.

Доказательство, например, такое:
1. Каждый элемент $\left.\det(X - \lambda I)\right|_{\lambda = X}$ является многочленом от элементов исходной матрицы.
2. Для матрицы, имеющей $n$ собственных значений над $\mathbb{C}$ матрицы все очевидно, так как она диагонализуема. Т.е. на множестве таких матриц вышеуказанные многочлены равны $0$.
3. Множество матриц с полным набором СЗ открыто (так как это дополнение к замкнутому множеству корней дискриминанта характеристического многочлена) и непусто.
4. Следовательно, элементы $\left.\det(X - \lambda I)\right|_{\lambda = X}$ тождественно равно $0$, так как равны $0$ на открытом множестве.

-- Вт янв 21, 2014 23:39:12 --

Joker_vD в сообщении #817660 писал(а):
Xaositect
Плотно где и в какой метрике-топологии?
В топологии Зариского (по определению). Над $\mathbb{C}$ - и в обычной топологии тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 22:41 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Xaositect в сообщении #817664 писал(а):
(так как это дополнение к замкнутому множеству корней дискриминанта характеристического многочлена)

Всё, провал. Откуда и что известно про множество корней?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 22:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
ewert в сообщении #817665 писал(а):
Всё, провал. Откуда и что известно про множество корней?...
Множество корней какого-то многочлена от $n$ переменных замкнуто в обычной топологии $\mathbb{C}^n$. Это элементарный матанализ. Многочлены непрерывны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 23:02 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Xaositect в сообщении #817668 писал(а):
Множество корней какого-то многочлена от $n$ переменных замкнуто в обычной топологии $\mathbb{C}^n$

Может, и замкнуто. Но, во-первых, это уже какая-то потусторонняя теория. А во-вторых: при чём тут меры-то?... (это уже теория совсем следующая)

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение22.01.2014, 00:27 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Ну и зачем здесь открытость и топология вообще?

Берем элемент из $\left.\det(X - \lambda I)\right|_{\lambda = X}$, берем $\Delta(\det(X - \lambda I))$, перемножаем, получаем многочлен, который обращается в ноль при подстановке любой матрицы: если матрица имела все простые с.з., то первый сомножитель обратится в ноль, если у матрицы были кратные с.з. — второй сомножитель обратится в ноль. Если многочлен обращается в ноль вообще всюду, и базовое поле у нас бесконечно, то это был нулевой многочлен — кольцо многочленов над полем целостно — второй сомножитель точно не ноль — всякий элемент вон той матрицы равен нулю.

И что, это в развернутом виде будет короче, чем оригинальное доказательство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение22.01.2014, 01:05 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Joker_vD в сообщении #817704 писал(а):
Берем элемент из $\left.\det(X - \lambda I)\right|_{\lambda = X}$
непонятно, что такое элемент, ведь $\left.\det(X - \lambda I)\right|_{\lambda = X}$ - это $0$ (число, а не нулевая матрица)
Joker_vD в сообщении #817704 писал(а):
берем $\Delta(\det(X - \lambda I))$
а что это - $\Delta$? Здесь и дальше, честно говоря, даже непонятно, что имелось в виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение22.01.2014, 01:29 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
$\left.\det(X - \lambda I)\right|_{\lambda = X}\equiv f_X(X)$

patzer2097 в сообщении #817710 писал(а):
а что это - $\Delta$?

Дискриминант, как и предлагал Xaositect.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение22.01.2014, 01:37 
Заслуженный участник


14/03/10
867
а, дискриминант.. (видимо, по переменной $\lambda$.) Но это уже не так тривиально.. но и тогда непонятно:
Joker_vD в сообщении #817704 писал(а):
берем $\Delta(\det(X - \lambda I))$, перемножаем, получаем многочлен, который обращается в ноль при подстановке любой матрицы: если матрица имела все простые с.з., то первый сомножитель обратится в ноль, если у матрицы были кратные с.з. — второй сомножитель обратится в ноль
что за "сомножители" имеются в виду? и потом, если у матрицы только простые СЗ, то дискриминант в ноль не обратится..

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение22.01.2014, 03:22 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Сомножители имеются в виду элемент матрицы из $f_X(X)$ и $\Delta$, разумеется. Если у матрицы только простые с.з., то в ноль обращается $f_X(X)$, что "легко доказывается". Если есть кратные корни, то в ноль будет обращаться $\Delta$. Т.о. мы имеем, что произведение двух многочленов всюду принимает нулевые значения, значит, это произведение — нулевой многочлен, а это возможно лишь если взятый элемент $f_X(X)$ был нулевым многочленом, т.к. $\Delta$ точно нулевым многочленом не является.

Вы помните, как хотели использовать топологические свойства? "Открытое всюду плотное множество матриц"... ну вот вам топология, где замкнутыми множествами называются множества вида $\{a|f\text{ --- a polynomial, } f(a)=0\}$ — там все открытые множества автоматом всюду плотны, множество диагонализируемых матриц как раз открыто... теперь выкидываем всю топологическую шелуху.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение22.01.2014, 17:56 
Заслуженный участник


14/03/10
867

(Joker_vD)

Joker_vD в сообщении #817740 писал(а):
Сомножители имеются в виду элемент матрицы из $f_X(X)$ и $\Delta$, разумеется. Если у матрицы только простые с.з., то в ноль обращается $f_X(X)$, что "легко доказывается". Если есть кратные корни, то в ноль будет обращаться $\Delta$. Т.о. мы имеем, что произведение двух многочленов всюду принимает нулевые значения, значит, это произведение — нулевой многочлен, а это возможно лишь если взятый элемент $f_X(X)$ был нулевым многочленом, т.к. $\Delta$ точно нулевым многочленом не является.
Да, теперь я понял Вас.


Joker_vD в сообщении #817740 писал(а):
Вы помните, как хотели использовать топологические свойства? "Открытое всюду плотное множество матриц"... ну вот вам топология, где замкнутыми множествами называются множества вида $\{a|f\text{ --- a polynomial, } f(a)=0\}$
я вообще в этой теме про топологию Зарисского ничего не писал.. Я вот какое доказательство могу предложить, еще раз..

(1) если у характеристического многочлена $f_A$ матрицы $A$ все корни разные, то она диагонализуема, и тогда $f_A(A)=0$.
(2) если комплексный многочлен обращается в нуль на каком-то открытом множестве, то он - тождественный нуль.
(3) вся окрестность комплексной диагональной матрицы $\operatorname{diag}(1,\ldots,n)$ удовлетворяет (1), поэтому для $X=(x_{ij})$ матрица $f_X(X)$ тождественно нулевая в силу (2).

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение23.01.2014, 01:22 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
patzer2097 в сообщении #817933 писал(а):
(2) если комплексный многочлен обращается в нуль на каком-то открытом множестве, то он - тождественный нуль.

Еще раз — это нетривиальный результат для комплексной топологии. Для топологии Зарисского — это почти мгновенное следствие из теоремы Безу о корнях, потому что там, честно говоря, "на открытом множестве" означает "почти всюду" / "во всем пространстве за исключением множества точек меньшей размерности".

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение23.01.2014, 12:19 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Joker_vD в сообщении #818118 писал(а):
Еще раз — это нетривиальный результат для комплексной топологии.
да что Вы.. можно доказать так: ненулевые многочлены одной переменной могут иметь только конечное число нулей; а если многочлен $\sum_k f_k x_n^k$, где $f_k\in\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_{n-1}]$, тождественно нулевой на открытом множестве, тогда все $f_k$ тождественно нулевые на этом множестве, дальше по индукции.

(Оффтоп)

Кстати, все еще тривиальнее, если ограничиться вещественными многочленами (а мое доказательство это позволяет) - там все следует из совпадения обычного и формального дифференцирования.
В смысле, тоже самое верно и в комплексном случае, но понятие комплексной производной привлекать, конечно, не хочется.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 75 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group