2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 15:38 
Заслуженный участник


14/03/10
867
ewert в сообщении #817412 писал(а):
Тогда множество диагонализуемых матриц не плотно. Очевидно.
да что Вы :shock: а почему? :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 15:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
patzer2097 в сообщении #817415 писал(а):
да что Вы :shock: а почему? :-(

Вы же говорили про $\mathbb R$. Ну так множество диагонализуемых матриц в пространстве вещественных матриц не плотно. Просто потому, что спектр у них может быть и комплексным, а тогда он устойчив по отношению к малым возмущениям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 15:44 
Заслуженный участник


14/03/10
867
ewert в сообщении #817417 писал(а):
Просто потому, что спектр у них может быть и комплексным, а тогда он устойчив по отношению к малым возмущениям.
я имел в виду, конечно, диагонализуемость в каком-то расширении поля. Теорема Гамильтона-Кэли одинаково легко проверяется для диагональных матриц над любым полем :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 15:46 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
...почему уж тогда сразу не проверить ее для жордановых матриц?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 15:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Joker_vD в сообщении #817422 писал(а):
...почему уж тогда сразу не проверить ее для жордановых матриц?

А откуда взять жордановость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 16:10 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Ну мы же можем основное поле немножко расширить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 16:11 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Joker_vD в сообщении #817422 писал(а):
...почему уж тогда сразу не проверить ее для жордановых матриц?
Вы правы, после того как доказано существование ЖНФ, теорема Гамильтона-Кэли получается бесплатно :-)
Я просто хотел сказать, что в наше время довольно странно выглядят сугубо технические доказательства теоремы Гамильтона-Кэли длиной в страницу, как у ТС, да еще и со ссылками на какие-то нетривиальные результаты. Хотя, может, лет $50$ назад в них и был какой-то смысл...

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 16:20 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
patzer2097
В этом доказательстве наоборот, нету ничего нетривиального: не нужна ни спектральная теория, ни умение расширять поля. И всего одна страничка.

-- Вт янв 21, 2014 17:23:21 --

Хотя "доказательство" $\chi_A(A)=\det(\lambda E-A)|_{\lambda=A}=\det(AE-A)=\det 0=0$ мне всегда нравилось больше всего :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 16:23 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
patzer2097 в сообщении #817178 писал(а):
Поскольку у $f_X$ нет кратных корней
А почему это очевидно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 16:33 
Заслуженный участник


08/01/12
915
ewert в сообщении #817412 писал(а):
apriv в сообщении #817408 писал(а):
В смысле алгебраической геометрии, конечно (то есть, в топологии Зариского), только не множество диагонализуемых матриц, а множество матриц, диагонализуемых после какой-то замены базы.

Тогда проще по Гантмахеру.

Это смотря что значит «проще». Соображение о плотности по Зарискому совершенно естественно в контексте алгебраической геометрии, это стандартный метод.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 16:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
apriv в сообщении #817438 писал(а):
Соображение о плотности по Зарискому совершенно естественно в контексте алгебраической геометрии, это стандартный метод.

patzer2097 в сообщении #817432 писал(а):
Хотя, может, лет $50$ назад в них и был какой-то смысл...

Это и через 50 тысяч лет будет иметь ровно тот же смысл. Теорема Гамильтона-Кэли нужна и всегда будет нужна гораздо большему кругу лиц, чем алгебраическая геометрия. Которой она ни разу не требует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 17:13 
Заслуженный участник


14/03/10
867
nnosipov в сообщении #817436 писал(а):
patzer2097 в сообщении #817178 писал(а):
Поскольку у $f_X$ нет кратных корней
А почему это очевидно?
утверждение интуитивно очевидно, но как быстро доказать его..
например, можно заметить, что $f'_X\neq0$ и что $f_X$ неприводим (иначе $t^n-x_{12}$ был бы приводим над $\mathbb{F}[t,x_{12}]$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 17:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
ewert в сообщении #817417 писал(а):
Вы же говорили про $\mathbb R$. Ну так множество диагонализуемых матриц в пространстве вещественных матриц не плотно. Просто потому, что спектр у них может быть и комплексным, а тогда он устойчив по отношению к малым возмущениям.
Да, я имел в виду алгебраически замкнутое поле. В случае $\mathbb{C}$ можно даже взять замыкание не по Зарисскому, а в обычной топологии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 17:55 
Заслуженный участник


14/03/10
867
ewert в сообщении #817448 писал(а):
Это и через 50 тысяч лет будет иметь ровно тот же смысл. Теорема Гамильтона-Кэли нужна и всегда будет нужна гораздо большему кругу лиц, чем алгебраическая геометрия.
и какой же смысл имеет теорема Гамильтона-Кэли, когда есть ЖНФ? :P
А если мы все-таки хотим доказать ее просто ради того, чтобы доказать, то можно это сделать очень просто, даже (1) в большей общности и (2) не привлекая никаких сложных конструкций. Например,

если $f_A(A)\neq0$ для какой-то матрицы $A$ над каким-то коммутативным кольцом, то многочлен $f_X(X)$ от элементов матрицы $X=(x_{ij})$ не равен тождественно нулю. А тогда $f_X(X)\neq0$ на открытом множестве комплексных матриц, противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объясните небольшой момент в теореме Кэли-Гамильтона
Сообщение21.01.2014, 17:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
patzer2097 в сообщении #817485 писал(а):
и какой же смысл имеет теорема Гамильтона-Кэли, когда есть ЖНФ? :P

а откуда она (ЖНФ) есть?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 75 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group