2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Опять комбинаторика
Сообщение19.01.2014, 21:13 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Кому не трудно-ответьте, пожалуйста, на вопросы, буду благодарен!:)
1
Сколькими способами можно выстроить очередь из $7$ человек ($A-H$) так, чтобы никакая из пар $AB$, $DE$ и $CH$ не стояла именно в этом порядке? Моё решение: всего способов переставить $A-H$: $7!$. Теперь вычтем случаи, когда все пары $AB$, $DE$ и $CH$ стоят именно в таком порядке: (в данном случае мы, как бы, объединяем $AB$, $DE$ и $CH$ в три элемента и смотрим все возможные перестановки с оставшимся элементом - $F$) $4!$. Ответ: $7!-4!$
2.
Сколько существует пятизначных чисел, в которых все цифры нечётны? Найдите сумму таких чисел. Про первый вопрос здесь очевидно: $5^5$. А как найти их сумму? Нужно найти какую-то закономерность?
3
В круговом шахматном турнире участвуют $7$ игроков
а)Сколькими способами можно составить расписание 1-го тура (кто-то один будет в первом туре свободен от игры)
б) Пусть расписание первого тура уже известно. Сколькими способами можно составить расписание 2-го тура (пары и свободный от игры участник не должны повторяться)?
В пункте а) получилось $105$, а вот во втором пункте возникли трудности. Не подскажите, как тут?

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять комбинаторика
Сообщение19.01.2014, 22:45 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
1) Правильно, если только верно истолковано условие.

Может быть, нельзя допускать, чтобы элементы $A, B$ стояли в порядке «сначала $A$, потом $B$» даже будучи разделены другими элементами? Например, $AHFB...$ тоже не допускается?

2) Возьмем, например, старший разряд — десятки тысяч. Там равное количество раз встречается каждая нечетная цифра.

Другой способ.
Каждому числу из множества «пятизначные с нечетными цифрами» сопоставим дополнительное, у которого вместо $1$ стоит $9$, вместо $3$ стоит $7$ и так далее. Тогда множество дополнительных чисел совпадает с исходным множеством. А сумма исходного числа и его дополнительного всегда одна и та же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять комбинаторика
Сообщение19.01.2014, 23:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
MestnyBomzh в сообщении #816742 писал(а):
Теперь вычтем случаи, когда все пары
Почему все? Противоположностью к "никакая" будет "некоторая"

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять комбинаторика
Сообщение20.01.2014, 00:13 


16/03/11
844
No comments
Во-втором задании сумму по моему можно подсчитать еще так:
1+2+...+99999-(1+2+3+...+9999+10000)-2(5000+5001+...+49999)=10001+10003+...+99999
Последнюю скобку можно тоже упростить:
5000+5001+...+49999=(1+2+....+49999)-(1+2+...+4999)

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять комбинаторика
Сообщение20.01.2014, 02:14 
Аватара пользователя


14/10/13
339
MestnyBomzh в сообщении #816742 писал(а):
Сколькими способами можно выстроить очередь из $7$ человек ($A-H$)...
Насколько я помню шахматную доску, $H$ - это 8, а не 7.

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять комбинаторика
Сообщение20.01.2014, 06:41 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 !  DjD USB, предупреждение за полное решение простой учебной задачи и за неоформление формул $\TeX$ом

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять комбинаторика
Сообщение20.01.2014, 17:03 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
popolznev в сообщении #816844 писал(а):
Насколько я помню шахматную доску, $H$ - это 8, а не 7.

Тут уж вопросы к составителю...
svv в сообщении #816792 писал(а):
1) Правильно, если только верно истолковано условие.

Я думаю, что всё же это не так...Другое дело, что я неверно посчитал, как правильно написала provincialka нужно считать не только для всех, но и по-отдельности.

Можно ли тогда посчитать по формуле включения-исключения? Сначала для фиксированной пары $AB$, потом для фиксированной пары $DE$, потом для $CH$. Потом для их всех их "пересечений"-пар, а после уже для всех трех? Тогда получим так: количество неподходящих случаев равно $6!+6!+6!-C^2_35!+4!$. И тогда количество подходящих равно: $7!-3 \cdot 6!+c^2_35!-4!$
DjD USB в сообщении #816821 писал(а):
Во-втором задании сумму по моему можно подсчитать еще так:
1+2+...+99999-(1+2+3+...+9999+10000)-2(5000+5001+...+49999)=10001+10003+...+99999
Последнюю скобку можно тоже упростить:
5000+5001+...+49999=(1+2+....+49999)-(1+2+...+4999)

А вы разве не находите сумму всех нечетных пятизначных чисел? или я что-то путаю?
svv в сообщении #816792 писал(а):
Другой способ.
Каждому числу из множества «пятизначные с нечетными цифрами» сопоставим дополнительное, у которого вместо $1$ стоит $9$, вместо $3$ стоит $7$ и так далее. Тогда множество дополнительных чисел совпадает с исходным множеством. А сумма исходного числа и его дополнительного всегда одна и та же.

У меня получилось: $5^5 \cdot 55555=5^6 \cdot 11111$

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять комбинаторика
Сообщение20.01.2014, 18:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Вроде верно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group