2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Когда обратим слабый предел последовательности операторов
Сообщение08.01.2014, 23:55 
Аватара пользователя


14/10/13
321
Такое утверждение: если непрерывные операторы $A_n: X \rightarrow Y$ ($X, Y$ --- банаховы) слабо сходятся к непрерывному же $A: X \rightarrow Y$, то для его обратимости необходимо и достаточно выполнение двух одновременно условий: 1) все $A_n$, начиная с некоторого номера, обратимы, и 2) обратные $A_n^{-1}$ равномерно ограничены.

Как же его доказать-то.

Достаточность. Возьмем $y \in Y$. Как построить $A^{-1}y$? Определена последовательность $x_n = A_n^{-1}y$. Понятно, что она ограничена. И... э...

А ещё ж необходимость. С ней-то что делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда обратим слабый предел последовательности операторов
Сообщение09.01.2014, 00:44 


10/02/11
6786
рассмотрите операторы $AA_n^{-1},A_n^{-1}A$
popolznev в сообщении #811606 писал(а):
слабо сходятся

наверное имеется в виду поточечная сходимость

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда обратим слабый предел последовательности операторов
Сообщение09.01.2014, 00:52 
Аватара пользователя


14/10/13
321
Oleg Zubelevich в сообщении #811641 писал(а):
наверное имеется в виду поточечная сходимость
Да вот у меня сказано - слабо, понимаете ли.

-- 09.01.2014, 01:56 --

Речь идет о слабой операторной сходимости: $\forall x \in X \ A_nx \rightharpoonup Ax$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда обратим слабый предел последовательности операторов
Сообщение09.01.2014, 04:18 
Заслуженный участник


22/11/10
1138
Тут что-то не так. Пусть у нас $X$ - сепарабельное гильбертово пространство. Вроде бы не трудно построить последовательность изометрий $A_n$, слабо сходящуюся к 0. Именно что $\forall x \in X \ A_nx \rightharpoonup 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда обратим слабый предел последовательности операторов
Сообщение09.01.2014, 08:11 
Аватара пользователя


14/10/13
321
sup в сообщении #811694 писал(а):
Тут что-то не так. Пусть у нас $X$ - сепарабельное гильбертово пространство. Вроде бы не трудно построить последовательность изометрий $A_n$, слабо сходящуюся к 0. Именно что $\forall x \in X \ A_nx \rightharpoonup 0$.
Спасибо, попробую построить этот контрпримерчик.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда обратим слабый предел последовательности операторов
Сообщение09.01.2014, 09:18 
Аватара пользователя


14/10/13
321
Эге. Вот так, наверное — в $l_2$.

$A_ne_k = \left\{\begin{array}{rl}
e_n, & \ k=1,\\
e_{k-1}, & \ 2 \le k \le n,\\
e_k, & \ k \ge n+1.
\end{array}\right.$

$A_n$ слабо сходятся к необратимому сдвигу влево, который съедает первую координату.

Контрпример, сталбыть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда обратим слабый предел последовательности операторов
Сообщение09.01.2014, 09:29 
Заслуженный участник


22/11/10
1138
Можно и так. А можно прямо к 0. Для этого достаточно координаты с малыми номерами "задвинуть" подальше.
Например, $A_n$ первые $n$ координат записывает в обратном порядке. Для примера,
$A_4: (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 \dots) \to (x_4,x_3,x_2,x_1,x_5 \dots)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда обратим слабый предел последовательности операторов
Сообщение09.01.2014, 11:23 
Аватара пользователя


14/10/13
321
Ну, понятно, что координаты надо перемешивать, но я старался попроще. Спасибо за подсказ!

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда обратим слабый предел последовательности операторов
Сообщение09.01.2014, 11:35 


10/02/11
6786
можно и проще. двусторонние последовательности возьмите и оператор сдвига

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда обратим слабый предел последовательности операторов
Сообщение09.01.2014, 11:47 
Аватара пользователя


14/10/13
321
Oleg Zubelevich в сообщении #811766 писал(а):
можно и проще. двусторонние последовательности возьмите и оператор сдвига
Что считать "проще" - дело вкуса :) Надо бы вот попробовать еще с сильной сходимостью, как вы говорили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда обратим слабый предел последовательности операторов
Сообщение09.01.2014, 13:18 


10/02/11
6786
я пока додумался только вот до чего. Если в условии считать, что сходимость поточечная, то последовательность операторов $A_n^{-1}A$ сходится поточечно к $I$. Следовательно, $\ker A=\{0\}$ и на $A(X)$ определен ограниченый оператор $$В,\quad BA=I\qquad (*)$$

Дальше $AA_n^{-1}=(A-A_n)A_n^{-1}+I$. Теперь будем рассматривать пространство $Y$ со слабой топологией. Очень хочется применить теорему Банаха -Штейнгауза к последедовательности $A-A_n$ в части равномерной сходимости на компактных множествах, поскольку множество $\{A_n^{-1}y\}$ относительно слабо компактно в $Y$. Для этого нужна слабая секвенциальная полнота $Y$. Но наверное, без нее всетаки можно обойтись, поскольку нам не надо доказывать существование предельного оператора, он уже существует это 0.
И так, по теореме Банаха-Штейнгауза, $AA_n^{-1}y\to y$ слабо для любого $y\in Y$.
В силу (*) , мы получаем оператор $C,\quad AC=I$. Следовательно $A(X)=Y$. достаточность доказана. Как-будто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда обратим слабый предел последовательности операторов
Сообщение09.01.2014, 13:41 
Аватара пользователя


14/10/13
321
А! Я, кажется, понял: там не слабая операторная сходимость, а слабая сходимость в банаховом пространстве линейных операторов. Вот где собака-то порылась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда обратим слабый предел последовательности операторов
Сообщение09.01.2014, 18:03 
Заслуженный участник


22/11/10
1138
Сильной поточечной сходимости не хватает для обратимости $A$.
Здесь (в примере ТС) поточечный предел - это сдвиг вправо: $(x_1,x_2,x_3 \dots) \to (0, x_1,x_2,x_3 \dots)$.
Оценку $\|x\| \leqslant C\|Ax\|$ доказать легко, но это дает лишь инъективность. Т.е. образ замкнут, но может не совпадать с $Y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда обратим слабый предел последовательности операторов
Сообщение09.01.2014, 18:22 
Аватара пользователя


14/10/13
321
sup в сообщении #812037 писал(а):
в примере ТС поточечный предел - это сдвиг вправо
Не, у меня все-таки влево: $x_2$ же сразу становится на место $x_1$, а $x_1$ уезжает всё дальше и дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда обратим слабый предел последовательности операторов
Сообщение09.01.2014, 18:51 
Заслуженный участник


22/11/10
1138
Ну значит надо сделать аналогично, но сдвиг вправо. Для левого сдвига сходимость в каждой точке будет лишь слабая. А для правого сдвига - сильная. То что надо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group