Помогите, пожалуйста, решить задачу по функану

[forzetor]

Доброго времени суток, форумчане!
Помогите, пожалуйста, решить следующую задачу:
Дано, что $\Phi$ - множество вогнутых функций на положительной полуоси с условием, что

$$\Phi = \lbrace\varphi : \varphi(1) = 1\rbrace$$

Доказать, что крайними точками этого множества будут следующие функции:

$$\varphi_s(t) = \min\lbrace{t, s}\rbrace, s\ge1$$

$$\varphi_s(t) = \min\lbrace\frac t s, 1\rbrace, s < 1$$

Имеются следующие соображения (на картинке):

Пусть у нас есть функция $\varphi(t)$. Возьмем производную (функция убывающая). В точке $t = 1$ (см. график производной) часть функции, лежащая выше единицы, и часть функции, лежащая ниже единицы, буду определять вогнутую функцию.
От производной вычитаем кусок константы, то есть первая часть (лежащая выше 1) это функция $\varphi'(t)-1$, когда $t < 1$; а вторая часть - $\min\lbrace{\varphi'(t), 1}\rbrace, t\ge1$. Каждая из этих функций убывает, тогда интегралы от них являются вогнутыми функциями.

То есть доказать, что какая-то функция является крайней точкой можно через производные (идея в разбиении). Выше показано(надеюсь корректно), что функция $\varphi(t)$ не является крайней точкой (ее можно разбить на две вогнутых функции), только нужно покопаться, найти точку разбиения.

А производная функции $\varphi_s(t) = \min\lbrace{t, s}\rbrace$, будет сначала константа, а потом ноль, и как ее не бей, нельзя найти точку разбиения, то есть является крайней точкой.

Правильно ли сказанное выше? Очень прошу помочь.

Еще соображения (не относящиеся к фотографии):
Беру любую функцию $\varphi(t)$, тождественно не =1. В том числе можно взять и минимумы, которые якобы являются крайними точками, и любую такую функцию представлю в виде выпуклой комбинации (с коэффициентами 1/2) двух функций: 1 и $2\varphi(t)-1$. Обе эти функции являются вогнутыми. И удовлетворяют условию: при t = 1 они равны 1. То есть любая функция не является крайней точкой.

Ведь функция $\min\lbrace{t, s}\rbrace$ - это прямая $y=x$, от которой потом отходит горизонтальная прямая вправо. Она же вогнутая, за исключением быть может точки 1? и функция $2\min\lbrace{t, s}\rbrace - 1$ будет иметь тот же вид. Т.к. любая линейная функция и выпуклая и вогнутая, то функция =1 подходит для нашей выпуклой комбинации.

Заранее спасибо за помощь! И спасибо всем тем, кто уже пытался помочь.

[provincialka]

Доказательство тут достаточно объемное, над ним надо долго думать. Вы начните выкладывать свои соображения, а мы подхватим. Например, попытайтесь описать некоторые свойства функций из $\Phi$.

[Null]

А топология множества не важна что-ли?

[Oleg Zubelevich]

может такое наблюдение будет полезным

$f(x)\in\Phi\Longrightarrow bf(ax+1-a)+1-b\in\Phi,\quad 0\le a\le 1,\quad b\ge 0$

[мат-ламер]

А как вообще доказать, что какая-то точка множества является крайней? Для простоты можно потренироваться на шаре. Но там есть функция (норма), которая достигает максимума на сфере (на крайних точках). А есть ли тут такая функция?

[sup]

Проще всего заметить, что у вогнутых функций вторая производная неположительна. Кусочно-линейные функции обладают тем свойством, что у них вторая производная равна 0 и дельта-функции. Вот отсюда можно показать, что они не могут быть выпуклой комбинацией других функций.
Однако в задаче есть неопределенность. Например, как насчет функции $f(x) = x$. Входит ли она в множество $\Phi$? Или речь идет только об ограниченных функциях?

[provincialka]

Может, дождемся появления ТС?

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #809255 писал(а):

Например, как насчет функции $f(x) = x$

а разве эта функция является крайней точкой? ( ну если предположить, что $\Phi$ такое, как написано)

-- Пт янв 03, 2014 22:41:50 --

по-моему, надо просто подбирать $\lambda\in(0,1),\quad a,b>0$ такие, что
$f=\lambda (b f+1-b)+(1-\lambda)(af+1-a),\quad f\in \Phi$

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Подсказок дано достаточно, теперь приведите свои попытки решения задачи и объясните, что конкретно вызывает затруднения.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.