Доброго времени суток, форумчане!
Помогите, пожалуйста, решить следующую задачу:
Дано, что

- множество вогнутых функций на положительной полуоси с условием, что

Доказать, что крайними точками этого множества будут следующие функции:


Имеются следующие соображения (на картинке):

Пусть у нас есть функция

. Возьмем производную (функция убывающая). В точке

(см. график производной) часть функции, лежащая выше единицы, и часть функции, лежащая ниже единицы, буду определять вогнутую функцию.
От производной вычитаем кусок константы, то есть первая часть (лежащая выше 1) это функция

, когда

; а вторая часть -

. Каждая из этих функций убывает, тогда интегралы от них являются вогнутыми функциями.
То есть доказать, что какая-то функция является крайней точкой можно через производные (идея в разбиении). Выше показано(надеюсь корректно), что функция

не является крайней точкой (ее можно разбить на две вогнутых функции), только нужно покопаться, найти точку разбиения.
А производная функции

, будет сначала константа, а потом ноль, и как ее не бей, нельзя найти точку разбиения, то есть является крайней точкой.
Правильно ли сказанное выше? Очень прошу помочь.
Еще соображения (не относящиеся к фотографии):
Беру любую функцию

, тождественно не =1. В том числе можно взять и минимумы, которые якобы являются крайними точками, и любую такую функцию представлю в виде выпуклой комбинации (с коэффициентами 1/2) двух функций: 1 и

. Обе эти функции являются вогнутыми. И удовлетворяют условию: при t = 1 они равны 1. То есть любая функция не является крайней точкой.
Ведь функция

- это прямая

, от которой потом отходит горизонтальная прямая вправо. Она же вогнутая, за исключением быть может точки 1? и функция

будет иметь тот же вид. Т.к. любая линейная функция и выпуклая и вогнутая, то функция =1 подходит для нашей выпуклой комбинации.
Заранее спасибо за помощь! И спасибо всем тем, кто уже пытался помочь.