2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Класс функций, имеющих первообразную
Сообщение31.12.2013, 15:20 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Чаще всего техника символьного интегрирования (отыскания первообразной) применяется лишь на промежутках непрерывности, однако всем известно, что из непрерывности функции ещё не следует её дифференцируемость, например функция:
$$
f=\begin{cases}
$2x \sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x}),&\text{если $x \neq 0$;}\\
0,&\text{если $x=0$;}\\
\end{cases}
$$
Разрывна в нуле, однако имеет первообразную $x^2 \sin (\frac{1}{x})$ (естественно доопределенную в нуле по непрерывности). Так вот, есть ли какие-нибудь необходимые/достаточные признаки того, что данная разрывная функция имеет/не имеет первообразной? И вообще, обозначается ли как-нибудь класс функций имеющих первообразную на данном отрезке? (очевидно, что такой класс не совпадает с классом функций, интегрируемых по Риману, более того, они даже не вкладываются друг в друга).

 Профиль  
                  
 
 Re: Класс функций, имеющих первообразную
Сообщение31.12.2013, 15:59 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Необходимо, чтобы теорема о среднем теорема о промежуточном значении выполнялась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Класс функций, имеющих первообразную
Сообщение31.12.2013, 16:07 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Теорема о среднем, та, которая из под определенного интеграла позволяет куски выносить? Я пока не понял, почему это так; ведь вроде как есть неограниченные на отрезке разрывные функции, имеющие первообразную и не имеющие интеграла Римана (даже несобственного).

 Профиль  
                  
 
 Re: Класс функций, имеющих первообразную
Сообщение31.12.2013, 16:13 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Не, я неправильно выразился — о среднем промежуточном значении. Если функция на концах отрезка принимает какие-то значения, то для любого значения между ними найдется точка на отрезке с именно таким значением функции в ней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Класс функций, имеющих первообразную
Сообщение31.12.2013, 16:20 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Ну да, ещё разрывы не должны быть первого рода.

-- 31.12.2013, 15:22 --

Хотя да, моё условие является необходимым для вашего, так что у вас условие круче. (:

 Профиль  
                  
 
 Re: Класс функций, имеющих первообразную
Сообщение31.12.2013, 17:00 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
$f$ - измеримая функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Класс функций, имеющих первообразную
Сообщение02.01.2014, 01:44 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Это необходимое или достаточное? Я как понял, это как-то связано с интегрированием по Лебегу... Вот ещё вопрос, существует ли функция с множеством точек разрыва меры нуль и удовлетворяющая условию Nemiroff, но не имеющая первообразной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Класс функций, имеющих первообразную
Сообщение03.01.2014, 14:43 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
ну функция
$$ f(x)=\begin{cases} $0,&\text{если $x \le 0$ ;}\\ x,&\text{$x\in \mathbb{Q},0<x<1$;}\\ 1,&\text{в противном случае;}\\ \end{cases} $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Класс функций, имеющих первообразную
Сообщение03.01.2014, 14:50 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Что-то я не понял, не существует же такой $0 <\zeta < \frac{1}{2}$, что $f(0) = 0 < f(\zeta) = \frac{1}{\pi} <  \frac{1}{2}  = f(\frac{1}{2}) $

 Профиль  
                  
 
 Re: Класс функций, имеющих первообразную
Сообщение03.01.2014, 15:07 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
$(x\sin{|\ln(x)|})'=x\sin|\ln (x)|+\cos|\ln(x)|$ при $0<x<0.5$ и $0$ при $x\le0$ (при $x\ge0.5$ продолжить по непрерывности)

 Профиль  
                  
 
 Re: Класс функций, имеющих первообразную
Сообщение03.01.2014, 15:12 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Мне пока непонятно, почему она должна не иметь первообразной...

 Профиль  
                  
 
 Re: Класс функций, имеющих первообразную
Сообщение03.01.2014, 15:16 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
Ну она получается склейкой $C_1,x<0$ и $x\sin|\ln(x)|+С_2,x>0$, Значит $C_1=C_2$ Но то что получилось в 0 не дифференцируемо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Класс функций, имеющих первообразную
Сообщение03.01.2014, 15:24 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Точно! Понятно, да.
Но всё же интересно, существует ли какое-нибудь красивое необходимое и достаточное условие того, что разрывная функция на промежутке имеет первообразную, настолько же красивое, как и критерий Лебега интегрируемости по Риману.
Кстати мне непонятен чисто методический вопрос: почему не введут специальные значки для классов «дифференцируемых n раз функций», «имеющих первообразную функций», «интегрируемых несобственно по Риману функций», «имеющих собственное значение (V.P.) по Риману функций» по аналогии с «непрерывно дифференцируемыми n раз», «бесконечно дифференцируемыми», «интегрируемыми по Риману» и «аналитическими». Буковок не хватает что ли? (:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group