2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Асимптотика на бесконечности (Зорич VI.3.5)
Сообщение25.12.2013, 18:07 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Задача:
Доказать, что $\int\limits_1^{x^2} \frac{e^t}{t} dt \sim \frac{e^{x^2}}{x^2}$ при $x \to +\infty$.

Я пытался доказывать по определению, перво наперво можно заменить $y=x^2$ для удобства, далее получим, что надо доказать:
$\lim\limits_{y \to +\infty} \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^n \frac{e^{ \frac{k(y-1)}{n} }}{\frac{k(y-1)}{n}} \frac{(y-1)}{n} \frac{y}{e^y} = 1$
кое-что там сокращается, но ни к чему хорошему не приводит. Как такое делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика на бесконечности (Зорич VI.3.5)
Сообщение25.12.2013, 18:12 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
Urnwestek в сообщении #806016 писал(а):
Доказать, что $\int\limits_1^{x^2} \frac{e^t}{t} dt \sim \frac{e^{x^2}}{x^2}$ при $x \to +\infty$.
По частям интегрировать пробовали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика на бесконечности (Зорич VI.3.5)
Сообщение25.12.2013, 18:26 
Аватара пользователя


03/10/13
449
$$\int\limits_1^{x^2} \frac{1}{t} de^t = \frac{e^t}{t} |\limits_1^{x^2} + \int\limits_1^{x^2} \frac{e^t}{t^2} dt = \frac{e^{x^2}}{x^2} - e + \int_1^{x^2} \frac{e^t}{t^2}dt $$
Типа так? Я пока не вижу, что это может дать, теперь надо доказывать, что $\lim\limits_{x \to +\infty} \int_1^{x^2} \frac{e^t}{t^2}dt = e$, что, вроде как, не проще.

(Оффтоп)

Как в TeXе большую вертикальную палочку можно поставить нормально? Я про $ |\limits_1^{x^2}$ к примеру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика на бесконечности (Зорич VI.3.5)
Сообщение25.12.2013, 18:28 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Зачем? Какое слагаемое дает основной вклад?

-- 25.12.2013, 20:31 --

(Оффтоп)

$$\left. \frac{e^t}{t} \right|_0^{x^2}$$
\left. \frac{e^t}{t} \right|_0^{x^2}

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика на бесконечности (Зорич VI.3.5)
Сообщение25.12.2013, 18:41 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
Urnwestek в сообщении #806038 писал(а):
Типа так?
Ага, сразу раза 3 так сделайте для пущей уверенности :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика на бесконечности (Зорич VI.3.5)
Сообщение25.12.2013, 18:41 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Otta в сообщении #806042 писал(а):
Зачем? Какое слагаемое дает основной вклад?

Да, точно, доказывать, что именно к $e$ сходится не нужно.
Но ещё одна проблема, а вдруг $ \int_1^{x^2} \frac{e^t}{t^2}dt$ даёт вклад больший, чем $\frac{e^{x^2}}{x^2}$? То есть ещё нужно показать каким-то образом, что $ \int_1^{x^2} \frac{e^t}{t^2}dt = o(\frac{e^{x^2}}{x^2})$ при $x \to +\infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика на бесконечности (Зорич VI.3.5)
Сообщение25.12.2013, 18:44 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
Urnwestek в сообщении #806055 писал(а):
То есть ещё нужно показать каким-то образом, что $ \int_1^{x^2} \frac{e^t}{t^2}dt = o(\frac{e^{x^2}}{x^2})$ при $x \to +\infty$.
Попробуйте разбить интеграл на $2$ интеграла и каждый по своему оценить. Промежуточный предел интегрирования подберите самостоятельно. Действуйте, пробуйте, это несложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика на бесконечности (Зорич VI.3.5)
Сообщение25.12.2013, 18:50 


10/02/11
6786
раз асимптотика уже известна остается убедиться что $$\lim_{x\to\infty}\frac{\int\limits_1^{x^2} \frac{e^t}{t} dt }{ \frac{e^{x^2}}{x^2}}=1$$
по правилу Лопиталя

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика на бесконечности (Зорич VI.3.5)
Сообщение25.12.2013, 18:56 
Заслуженный участник


09/05/13
8904

(Оффтоп)

Неее.... ну это скучно))). Хотя безусловно правильно.
Асимптотику искать интереснее. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика на бесконечности (Зорич VI.3.5)
Сообщение25.12.2013, 19:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Напрашивается замена $t=x^2-s$, после чего исходный интеграл сводится к $\frac{e^{x^2}}{x^2}\cdot\int\limits_0^{x^2-1}e^{-s}\cdot\frac1{1-\frac{s}{x^2}}\,ds$. Ну последний интеграл довольно очевидно стремится к единице. Более того: с точки зрения получения асимптотики дробь можно безнаказанно разложить в ряд, произнеся приличествующие случаю заклинания...

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика на бесконечности (Зорич VI.3.5)
Сообщение25.12.2013, 19:34 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Oleg Zubelevich в сообщении #806067 писал(а):
раз асимптотика уже известна остается убедиться что $$\lim_{x\to\infty}\frac{\int\limits_1^{x^2} \frac{e^t}{t} dt }{ \frac{e^{x^2}}{x^2}}=1$$
по правилу Лопиталя

Действительно же! Как всё просто-то было. (:

Deggial в сообщении #806061 писал(а):
Попробуйте разбить интеграл на $2$ интеграла и каждый по своему оценить. Промежуточный предел интегрирования подберите самостоятельно. Действуйте, пробуйте, это несложно.


Да, если ещё два раза прокрутить интегрирование по частям, а затем применить первую теорему о среднем, то довольно легко получается. $ \int_1^{x^2} \frac{e^t}{t^2}dt = [\frac{e^{x^2}}{x^4} - e] + 2\int_1^{x^2} \frac{e^t}{t^3} dt =  [\frac{e^{x^2}}{x^4} - e] + 2[\frac{e^{x^2}}{x^6} - e] + 6 \int_1^{x^2} \frac{e^t}{t^4} dt = o(\frac{e^{x^2}}{x^2}) + 6  \frac{e^{\zeta}}{\zeta^2} \int_1^{x^2} \frac{1}{t^2} dt = o(\frac{e^{x^2}}{x^2}) + 6  \frac{e^{\zeta}}{\zeta^2} (1- \frac{1}{x^2})  = o(\frac{e^{x^2}}{x^2})$ где $\zeta \in (1,x^2)$.

ewert в сообщении #806076 писал(а):
Напрашивается замена $t=x^2-s$, после чего исходный интеграл сводится к $\frac{e^{x^2}}{x^2}\cdot\int\limits_0^{x^2-1}e^{-s}\cdot\frac1{1-\frac{s}{x^2}}\,ds$. Ну последний интеграл довольно очевидно стремится к единице. Более того: с точки зрения получения асимптотики дробь можно безнаказанно разложить в ряд, произнеся приличествующие случаю заклинания...

Тоже красивое решение, тут достаточно лишь теоремы о том, что степенные ряды можно интегрировать почленно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика на бесконечности (Зорич VI.3.5)
Сообщение25.12.2013, 21:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Urnwestek в сообщении #806094 писал(а):
тут достаточно лишь теоремы о том, что степенные ряды можно интегрировать почленно?

Нет, недостаточно; и даже не нужно. Тут пафос в другом: получающийся на выходе асимптотический ряд -- степенной, в то время как любые разумные манипуляции с верхними пределами интегрирования дают лишь экспоненциально малые поправки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group