2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Конечные поля
Сообщение24.12.2013, 17:48 


24/12/13
5
Доброго времени суток. В общем я студент 2-го курса мехмата и курсовая у меня по конечным полям. И один из подпунктов это "Представление и построение элементов конечных полей". Я в курсе что возможны три подхода к представлению... Меня вот что интересует: что за матричный подход? как его построить??? В книге Лидла и Ниеррайтера всего лишь небольшой кусочек... А поподробнее может кто подсказать где найти?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечные поля
Сообщение24.12.2013, 19:21 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
А что в нем непонятного? Берете неприводимый многочлен $f(x)$ и строите его сопровождающую матрицу $A$. Тогда $f(A) = 0$ и эту матрицу $A$ можно использовать как корень многочлена $f(x)$, порождающего поле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечные поля
Сообщение25.12.2013, 17:06 


24/12/13
5
А большое количество литературы по этому вопросу где можно найти? Какие кто книги посоветовать может?

PS Я не могу понять как строиться сопровождающая матрица. Пожалуйста, объясните на конкретных примерах

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечные поля
Сообщение25.12.2013, 17:48 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Ingvarr в сообщении #805968 писал(а):
А большое количество литературы по этому вопросу где можно найти? Какие кто книги посоветовать может?

PS Я не могу понять как строиться сопровождающая матрица. Пожалуйста, объясните на конкретных примерах
Насколько мне известно, именно книжка Лидла и Нидеррайтера - лучшее что есть по конечным поля. Все (включая матричное представление) излагается подробно, с примерами (см., примеры 2.53 и 2.54) комментариями и упражнениями.

Поэтому, если она Вас не устраивает, трудно Вам что-то посоветовать. В других книжках (по алгебре, комбинаторике, теории кодирования) конечным полям обычно отводится один-два параграфа. А тут целых два тома. Где же искать подробности, как не у Лилда с Нидеррайтером?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечные поля
Сообщение25.12.2013, 17:51 


24/12/13
5
VAL в сообщении #805998 писал(а):
Ingvarr в сообщении #805968 писал(а):
А большое количество литературы по этому вопросу где можно найти? Какие кто книги посоветовать может?

PS Я не могу понять как строиться сопровождающая матрица. Пожалуйста, объясните на конкретных примерах
Насколько мне известно, именно книжка Лидла и Нидеррайтера - лучшее что есть по конечным поля. Все (включая матричное представление) излагается подробно, с примерами (см., примеры 2.53 и 2.54) комментариями и упражнениями.

Поэтому, если она Вас не устраивает, трудно Вам что-то посоветовать. В других книжках (по алгебре, комбинаторике, теории кодирования) конечным полям обычно отводится один-два параграфа. А тут целых два тома. Где же искать подробности, как не у Лилда с Нидеррайтером?


Ну так-то да. Но для курсовой материала не сильно хватает... А за совет спасибо)

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечные поля
Сообщение25.12.2013, 19:31 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Ingvarr в сообщении #805968 писал(а):
Я не могу понять как строиться сопровождающая матрица. Пожалуйста, объясните на конкретных примерах

Там же пример есть. Для многочлена $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_{n-1}x^{n-1} + x^n$ сопровождающей матрицей является матрица
$
A = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_0 \\
1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_1 \\
0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & -a_2 \\
0 & 0 & 1 & \ldots & 0 & -a_3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & -a_{n-1}
\end{pmatrix}.
$
В последнем столбце матрицы выписываются коэффициенты многочлена с обратным знаком начиная с младшего.

Например, пусть $f(x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + x^4$ над полем $\mathbb{F}_5$Тогда сопровождающая матрица имеет вид
$
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 4 \\
1 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечные поля
Сообщение25.12.2013, 20:04 


24/12/13
5
AV_77 в сообщении #806091 писал(а):
Ingvarr в сообщении #805968 писал(а):
Я не могу понять как строиться сопровождающая матрица. Пожалуйста, объясните на конкретных примерах

Там же пример есть. Для многочлена $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_{n-1}x^{n-1} + x^n$ сопровождающей матрицей является матрица
$
A = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_0 \\
1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_1 \\
0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & -a_2 \\
0 & 0 & 1 & \ldots & 0 & -a_3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & -a_{n-1}
\end{pmatrix}.
$
В последнем столбце матрицы выписываются коэффициенты многочлена с обратным знаком начиная с младшего.

Например, пусть $f(x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + x^4$ над полем $\mathbb{F}_5$Тогда сопровождающая матрица имеет вид
$
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 4 \\
1 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$


а почему тогда последний столбец во второй матрице перевернут?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечные поля
Сообщение25.12.2013, 20:10 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Ingvarr в сообщении #806101 писал(а):
а почему тогда последний столбец во второй матрице перевернут?

Куда он перевернут, вы в конечных полях умеете работать? В последнем столбце стоят:
- первая строка $-1 \equiv 4 \pmod{5}$,
- вторая строка $-2 \equiv 3 \pmod{5}$,
- третья строка $-3 \equiv 2 \pmod{5}$,
- четвертая строка $-4 \equiv 1 \pmod{5}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечные поля
Сообщение25.12.2013, 20:19 


24/12/13
5
AV_77 в сообщении #806105 писал(а):
Ingvarr в сообщении #806101 писал(а):
а почему тогда последний столбец во второй матрице перевернут?

Куда он перевернут, вы в конечных полях умеете работать? В последнем столбце стоят:
- первая строка $-1 \equiv 4 \pmod{5}$,
- вторая строка $-2 \equiv 3 \pmod{5}$,
- третья строка $-3 \equiv 2 \pmod{5}$,
- четвертая строка $-4 \equiv 1 \pmod{5}$.


Все понял, спасибо)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group