2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Что такое сопряженный функтор
Сообщение22.12.2013, 14:03 


01/09/12
174
Дайте мне, пожалуйста, аккуратное определение сопряженного функтора. Не хочу искать в литературе, чтобы избежать терминологических препятствий. Видел такое определение:
Пусть $\mathcal{K}_1$ и $\mathcal{K}_2$ - две категории. Если пара функторов $F:\mathcal{K}_1\longrightarrow \mathcal{K}_2$ и $G:\mathcal{K}_2\longrightarrow \mathcal{K}_1$, связана функториальным по $X\in \mathrm{Obj}(\mathcal{K}_1)$ и $Y\in \mathrm{Obj}(\mathcal{K}_2)$ изоморфизмом $\mathrm{Hom}_{\mathcal{K}_2}(F(X),Y)\simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{K}_1}(X,G(Y))$, то $F$ называется левым сопряженным к $G$, а $G$ - правым сопряженным к $F$.
Вот скажите мне, что такое "функториальный по $X$ изоморфизм".

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сопряженный функтор
Сообщение22.12.2013, 14:56 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Chernoknizhnik в сообщении #804614 писал(а):
Не хочу искать в литературе

Мда.
Вот посмотрите на это требование: должен существовать изоморфизм
Цитата:
$\mathrm{Hom}_{\mathcal{K}_2}(F(X),Y)\simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{K}_1}(X,G(Y))$

Оно, если вдуматься, само по себе достаточно глупое. Слева и справа стоят просто множества, без всяких дополнительных структур. Два множества изоморфны тогда и только тогда, когда они просто-напросто равномощны. Ну, мало ли когда эти множества равномощны — например, оказалось, что они случайно оба счетны. Определение сопряженного функтора все-таки требует, чтобы эти изоморфизмы для каждой пары $X,Y$ были не какими попало, а согласованными с морфизмами. Дело в том, что если заменить $X$ на $X'$ посредством морфизма $f\colon X\to X'$ в первой категории, то возникнет (по определению функтора) морфизм $F(f)\colon F(X)\to F(X')$, а отсюда (по функториальности $\mathrm{Hom}$) — морфизмы $\mathrm{Hom}_{\mathcal{K}_2}(F(X'),Y)\to \mathrm{Hom}_{\mathcal{K}_2}(F(X),Y)$ и $\mathrm{Hom}_{\mathcal{K}_1}(X',G(Y))\to \mathrm{Hom}_{\mathcal{K}_1}(X,G(Y))$. Определение сопряженности говорит не только то, что между левыми частями этих морфизмов есть изоморфизм, и между правыми частями этих морфизмов есть изоморфизм, но и что они согласованны, то есть, переходят друг в друга посредством указанных морфизмов. Нарисуйте диаграмму из этих четырех $\mathrm{Hom}$-ов — она должна быть коммутативной. Аналогичное происходит при замене $g\colon Y\to Y'$ (с поправкой на ковариантность $\mathrm{Hom}$ по второму аргументу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое сопряженный функтор
Сообщение22.12.2013, 15:05 


01/09/12
174
Спасибо!
apriv в сообщении #804643 писал(а):
Chernoknizhnik в сообщении #804614 писал(а):
Не хочу искать в литературе

Мда.

Не хочу, чтобы это звучало оправданием, но у меня сессия:)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group