2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пределы, производные, пара задач
Сообщение20.12.2013, 14:35 
Аватара пользователя


21/06/12
184
1) Выяснить, существует ли $\lim\limits_{x \to 3} [\frac{x-3}{4}]$
Я взял две подпоследовательности:
$x_{x}^1=\frac{3n^2+\frac{1}{n}}{n^2}$. Предел этого $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{3n^2+\frac{1}{n}}{n^2} = 3$
$x_{x}^2=\frac{n^2+2}{n^2}$ $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2+2}{n^2}=3$
Но $\lim\limits_{n \to \infty} [\frac{\frac{n^2+2}{n^2}-3}{4}] \ne \lim\limits_{n \to \infty} [\frac{{3n^2+\frac{1}{n}}{n^2}-3}{4}]$
Значит предела не существует?
2)Пользуясь определением вычислить односторонние производные:
$f(x)=x, x\leqslant0$
$f(x)=x^\frac{4}{3}\cdot lnx, x>0$
$f(0)_{+}^' $,  $(0)f_{-}^'$ нужно найти по определению.
Это вызвало затруднение.
3) Найти производную порядка $n=50$, $f(x)=\sin^2x \cdot\sin2x$. Здесь можно обойти без формулы Лейбница. Я нашёл закономерность:
$f'(x)=\sin^22x+2\sin^2x\cdot\cos2x$
$f''(x)=4\sin4x-2\sin2x$
. . .
$f^{7}(x)=2^{12}\cos(4x)-2^6\cos2x$, то есть через $f^{7+4n}= 2^{(n-1)\cdot2}\cos4x-2^{n-1}\cos2x$
Значит производная порядка $n=50$ будет $2^{49}\cos2x-2^{98}\cos4x$
Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы, производные, пара задач
Сообщение20.12.2013, 14:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
1) Идея правильная, но вторая последовательность плоха. Она даже не сходится к трём, а должна, причем специфическим образом. И ещё там должно быть $x_n=...$

2) Справа по определению и действуйте. Слева можно и так.

3) В первой производной забыли двоечку, не беда, но можно было сразу представить выражение в виде разности двух синусов. По-моему, знаки перепутаны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы, производные, пара задач
Сообщение20.12.2013, 15:02 


03/06/12
2745
Могу высказаться по поводу примера 3). Во-первых, не совсем ясен переход от $f^7(x)$ к$f^{7+4n}(x)$, (он, по-моему, неверен). А, во-вторых, даже если она и верна, для вычисления $f^{50}(x)$ она не пригодна: число $50$ не является числом вида $7+4n$, хотя, конечно, можно сначала вычислить $f^{47}](x)$. Но обычно в таких задачах получают формулы, сразу приводящие к ответу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы, производные, пара задач
Сообщение20.12.2013, 15:08 
Аватара пользователя


21/06/12
184
В 3 период закономерности получается 4? Значит нам нужно брать производную, которая представляется в виде $50=f^x+4n$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы, производные, пара задач
Сообщение20.12.2013, 15:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Период 4, то есть по знакам и функциям 50-я производная соответствует второй. То есть у Вас в ответе знаки другие. А коэффициенты правильные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы, производные, пара задач
Сообщение20.12.2013, 15:17 
Аватара пользователя


21/06/12
184
1) Можем взять $x_{n}^2=\frac{3n^2+2}{n^2}$? Тогда последнее неравенство превращается в равенство. Значит предел существует. Но если берем $3-0$, то предел равен -1, а если $3+0$, то предел равен 0. В чем ошибка?

-- 20.12.2013, 14:19 --

3) $2^{49}\sin4x-2^{98}\sin2x$. Это окончательный ответ?

-- 20.12.2013, 14:22 --

Как понять Ваши слова "должна стремится специфическим образом?" в комментарии к первому заданию? Как вообще критерии для выбора последовательности, кроме того, к чему она должна стремится. Из википедии мне не очень понятна эта фраза "но не содержащей \x_0 в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ~x_0 ), "

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы, производные, пара задач
Сообщение20.12.2013, 15:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Можно взять даже три последовательности с одинаковыми пределами значений функции, но это не докажет существование предела функции. В вот всего две последовательности с разными пределами доказывают не существование предела функции.
Вы правильно написали, что вторая последовательность должна приближаться к тройке слева. Ну и стройте её.

В данном случае у функции просто не совпадают правый и левый пределы. Бывают более сложные функции.
Выбирать последовательности надо так, чтобы они сходились к значению, к которому стремится аргумент функции, и имели разные пределы значений функции. В Вашем случае специфичность в том, что они сходятся с разных сторон.
Видит Админ, что в формализованной записи всё это яснее, но я не могу пока писать формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы, производные, пара задач
Сообщение20.12.2013, 15:36 
Аватара пользователя


21/06/12
184
Я в первом вместо доказательства по Гейне доказал, показав, что левый и правый предел - разные. Этого достаточно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы, производные, пара задач
Сообщение20.12.2013, 15:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Достаточно. Но Вы всё как-то усложняете. Взяли бы последовательности $\{3-1/n\}$ и $\{3+1/n\}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group