2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Предел
Сообщение16.12.2013, 02:25 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Найти при помощи интеграла:
$\lim\limits_{n \to \infty} [\frac{n}{(n+1)^2} + ... + \frac{n}{(2n)^2}];$
$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1^\alpha + 2^\alpha + ... + n^\alpha}{n^{\alpha+1}}, \alpha \geqslant 0$

Вроде как понятно, что нужно брать что-то типа
а)$\lim\limits_{x \to \infty} \int_1^x \frac{x}{(x+t)^2}dt$
б)$\lim\limits_{x \to \infty} \int_1^x \frac{t^{\alpha}}{x^{\alpha+1}} dt$

Но как это можно строго обосновать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение16.12.2013, 02:32 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Не. Зачем. Будут обычные римановы интегралы по фиксированному отрезку. $1/n$ вынесите в каждом выражении, может, виднее будет.

Это стандартная задача на определение интеграла Римана: выписать определение и посмотреть, кого кем назначить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение16.12.2013, 02:43 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Да, кажись понял, во втором будет $\lim\limits_{\lambda(P) \to 0}  \sum\limits_{k=1}^n (\frac{k}{n})^{\alpha} \frac{1}{n} = \int_0^1 x^{\alpha} dx$. В первом ещё подумаю, но вроде тоже понятно. Спасибо.

-- 16.12.2013, 02:25 --

$\lim\limits_{\lambda(P) \to 0} \sum\limits_{k=1}^n (\frac{1}{1+(\frac{k}{n})})^2 \frac{1}{n} = \int_0^1 \frac{1}{(1+x)^2} dx = \frac{1}{2} $

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение16.12.2013, 21:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Надо только уметь обосновывать, почему сходится именно к интегралу

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение16.12.2013, 22:02 
Аватара пользователя


03/10/13
449
SpBTimes в сообщении #802256 писал(а):
Надо только уметь обосновывать, почему сходится именно к интегралу

Ну, по определению, какие ещё обоснования нужны? (:

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение16.12.2013, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
По определению предел сходится к интегралу, если он не зависит от способа дробления и выбора точек. У вас способ весьма фиксирован, как и точки :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение16.12.2013, 22:46 
Аватара пользователя


03/10/13
449
SpBTimes в сообщении #802297 писал(а):
По определению предел сходится к интегралу, если он не зависит от способа дробления и выбора точек. У вас способ весьма фиксирован, как и точки :)

А, ну то такое. Теорема о пределе композиции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение16.12.2013, 22:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
SpBTimes в сообщении #802297 писал(а):
По определению предел сходится к интегралу, если он не зависит от способа дробления и выбора точек. У вас способ весьма фиксирован, как и точки :)
Разве? Если интеграл существует (а от непрерывной функции он существует) то любая последовательность интегральных сумм, мелкость которой стремится к 0, сходится к нему. Зачем здесь другие дробления?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение16.12.2013, 23:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
provincialka в сообщении #802332 писал(а):
Разве? Если интеграл существует (а от непрерывной функции он существует) то любая последовательность интегральных сумм, мелкость которой стремится к 0, сходится к нему. Зачем здесь другие дробления?
Имеется в виду Сапог Шварца

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение16.12.2013, 23:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Он же двумерный, при чем тут?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение16.12.2013, 23:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
provincialka в сообщении #802373 писал(а):
Он же двумерный,

Вообще-то даже трёхмерный. Но что сапогов в одномерной продаже не встречается -- то да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение16.12.2013, 23:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
provincialka в сообщении #802373 писал(а):
Он же двумерный, при чем тут?
Это чтобы сразу выработать универсальный подход во всех измерениях.
А то человек обобщит одномерное, начнет писать программки, а они врут ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение16.12.2013, 23:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
ewert в сообщении #802377 писал(а):
Вообще-то даже трёхмерный.
Вложен в трехмерное пространство, но используется для "определения" площади двумерной поверхности (парадоксального).

Но здесь же не то. Интеграл - это предел интегральных сумм при мелкости, стремящейся к нулю. А у записанной суммы тоже мелкость стремится к 0. Тут нет лазейки для ошибки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение16.12.2013, 23:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
provincialka в сообщении #802386 писал(а):
Вложен в трехмерное пространство, но

Ну, понимаете, без этой вложенности и сапожной проблемы бы не было. Вот спустимся на ступеньку вниз: есть ли аналог Шварца для спрямляемых кривых?... (даже независимо от точного понимания спрямляемости).

Ладно, попробую Вас перефразировать (хотя всем наверняка и так уже всё ясно). Интеграл по определению существует, да, если есть предел по любым разбиениям. Но если уж известно, что он (интеграл) существует -- то, в полном соответствии с определением, он равен пределу по какой нам заблагорассудится конкретной последовательности разбиений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение16.12.2013, 23:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
provincialka в сообщении #802386 писал(а):
Интеграл - это предел интегральных сумм при мелкости, стремящейся к нулю. А у записанной суммы тоже мелкость стремится к 0. Тут нет лазейки для ошибки.
У сапога разбиение тоже стремится к нулю...

Кстати, как вам функция Дирихле для одномерного случая? Это конечно не Риман и не Лебег, но если не вникать в подробности, то $1/n, 2/n ...$ - все точки рациональны. A теорию меры изучают не все программисты.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group