2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Несколько уравнений в целых числах
Сообщение15.12.2013, 20:22 


16/03/11
844
No comments
1) Решить в целых положительных числах
$$ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{y^2}=1$$
2) Пусть T(x)-- сумма всех простых чисел, не превосходящих х. Найдите все корни уравнения:
$$T(x)=\frac{x^2}{2}$$
3) Натуральные числа a и b взаимнопросты и
$$\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}=\frac{3}{13}$$
Найти a и b.

 i  Deggial: название исправил на более содержательное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сбор..
Сообщение15.12.2013, 20:57 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
1) Одна из трех дробей должна быть $\geq \frac 13$. Если $\frac 1{x^2}\geq \frac 13$, то $x=1$. При $x=1$ решений нет. Если же $\frac 1{xy}\geq \frac13$, то либо $x$, либо $y$ равно 1. Решений снова нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сбор..
Сообщение15.12.2013, 21:30 


16/03/11
844
No comments
mihiv в сообщении #801709 писал(а):
1) Одна из трех дробей должна быть $\geq \frac 13$. Если $\frac 1{x^2}\geq \frac 13$, то $x=1$. При $x=1$ решений нет. Если же $\frac 1{xy}\geq \frac13$, то либо $x$, либо $y$ равно 1. Решений снова нет.

Есть еще один подход (хотя может и не один) :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сбор..
Сообщение15.12.2013, 21:51 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
1) Пусть по симметрии $x\ge y$. у=1 перебор слева , у=2 не добор.
2) х=2 решение. х - четное. Если х больше двух, слева не больше чем 2+3+...(х-1) меньше чем справа.
3) Из взаимной простоты или $a+b=3, a^2-ab+b^2=13$
или $a+b=9, a^2-ab+b^2=39$.
По симметрии найдем только решения $a\ge b$.
3.1 $a=4,b=-1$,
3.2 $a=7,b=2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сбор..
Сообщение15.12.2013, 22:11 


16/03/11
844
No comments
А что если первое уравнение решать в целых числах...

-- Вс дек 15, 2013 22:13:26 --

Руст
В последнем задании числа натуральные :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сбор..
Сообщение16.12.2013, 07:38 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
DjD USB в сообщении #801751 писал(а):
А что если первое уравнение решать в целых числах...

существенно не изменится. Добавится только х=-у=+-1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько уравнений в целыых числах
Сообщение16.12.2013, 19:07 
Заблокирован


22/07/13

43
Что это Вы тут понаписали? :lol:
Чушь какую то! :facepalm:
Это всё потому что маниакальная депрессия и истерика. И постоянно баните не разобравшись.
Вот пожалуйста какой результат!
3-е уравнение это вообще надо решать бинарную квадратичную форму в общем виде.
Рисовать тут бесполезно всё равно забанят поэтому зайдите на форум Академгородка в раздел по летающим тарелкам.
Тема: реклама удалена

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько уравнений в целыых числах
Сообщение16.12.2013, 19:42 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 !  individa, бан за оскорбление участников форума, за бессодержательное сообщение и необоснованную саморекламу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько уравнений в целых числах
Сообщение17.12.2013, 10:17 


23/01/07
3415
Новосибирск
1) $ \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{y^2}=1$

$ x^2+xy+y^2=x^2y^2$

$ x^2+2xy+y^2=x^2y^2+xy$

$4(x+y)^2+1= 4x^2y^2+4xy+1$

$4(x+y)^2+1=(2xy+1)^2$

$1=(2xy+1)^2-4(x+y)^2$

Единицу в натуральных числах разложить на разность квадратов невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько уравнений в целых числах
Сообщение17.12.2013, 14:35 


16/03/11
844
No comments
Батороев, Супер!
Я по другому решал. Решал квадратное уравнение и значение дискриминанта зажимал между двумя квадратами. :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group