2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать, что мат ожидание конечно
Сообщение15.12.2013, 15:36 


12/10/12
134
Добрый день. Помогите, пожалуйста, с задачкой:

Пусть случайная величина X такова, что$ \lim_n \frac {P(|X|>2n)} {P(|X|>n)} < \frac 1 2 $. Доказать, что тогда $ E|X| < \infty$.

Я думаю тут надо какой-то признак сходимости применить, только какой не знаю
$E|X|=2\int_0^{+\infty}x d(P(x))$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что мат ожидание конечно
Сообщение15.12.2013, 16:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Я тоже так думаю, поэтому не надо признак.
Смотрите, если предел величины меньше 1/2, то это что значит для самой величины? Может она быть равна 1/4? или 3/4? или вообще другими словами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что мат ожидание конечно
Сообщение15.12.2013, 16:06 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Если $\[M[\xi ] < \infty \]$, то $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty  {P(\xi  \ge n)}  \le M[\xi ] \le 1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty  {P(\xi  \ge n)} \]$ для любой неотрицательной с.в. Сходимость этого ряда равносильна тому, что у вас конечное мат. ожидание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что мат ожидание конечно
Сообщение15.12.2013, 16:21 


12/10/12
134
ИСН в сообщении #801461 писал(а):
Я тоже так думаю, поэтому не надо признак.
Смотрите, если предел величины меньше 1/2, то это что значит для самой величины? Может она быть равна 1/4? или 3/4? или вообще другими словами?


$\lim_{n\to+\infty}P(X \geqslant n)=0$ так?

Не правильно понял вопрос, да может равняться и 1/4 и 3/4 при некоторых начальных $n$, при больших может равняться 1/4, 3/4 не может


-- 15.12.2013, 17:51 --

Ms-dos4 в сообщении #801462 писал(а):
Если $\[M[\xi ] < \infty \]$, то $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty  {P(\xi  \ge n)}  \le M[\xi ] \le 1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty  {P(\xi  \ge n)} \]$ для любой неотрицательной с.в. Сходимость этого ряда равносильна тому, что у вас конечное мат. ожидание.


Пока не получается доказать сходимость суммы ряда, а откуда следует эта формула?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что мат ожидание конечно
Сообщение16.12.2013, 23:53 


12/10/12
134
Может наведете на мысль, что дальше делать? Как можно доказать

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что мат ожидание конечно
Сообщение17.12.2013, 09:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Пойдём окольным путём.
1. Вы знаете какую-нибудь величину, у которой нет матожидания?
2. И чему же у неё равен тот предел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что мат ожидание конечно
Сообщение17.12.2013, 10:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Я вроде писала тут большое сообщение! Пропало. Наверное, не из той вкладки отослала :shock:
Попробую снова, покороче.
R_e_n в сообщении #801472 писал(а):
ИСН в сообщении #801461 писал(а):
Смотрите, если предел величины меньше 1/2, то это что значит для самой величины? Может она быть равна 1/4? или 3/4? или вообще другими словами?
Не правильно понял вопрос, да может равняться и 1/4 и 3/4 при некоторых начальных $n$, при больших может равняться 1/4, 3/4 не может
Пусть, например, предел некоей величины равен $a<1/2$. Тогда при больших $n$ эта величина если и будет больше $a$, то чуть-чуть. Более того, при достаточно больших $n$ она будет меньше 1/2.
Итак, при $n>n_0$ имеем $\frac {P(|X|>2n)} {P(|X|>n)} < \frac 1 2 $, то есть $P(|X|>n)>2 P(|X|>2n)$. А что можно сказать о вероятности $P(n<|X|\le 2n)$?
Может, это поможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что мат ожидание конечно
Сообщение17.12.2013, 12:30 


12/10/12
134
provincialka в сообщении #802506 писал(а):
А что можно сказать о вероятности
$P(n<|X|\le 2n)$?


$P(n<|X|\le 2n)=P(|X|\le 2n)-P(n<|X|)=1-P(|X|> 2n)-P(|X|>n) \leqslant 1-3P(|X|> 2n)$
или
$1-\frac 3 2 P(|X|>n) \leqslant P(n<|X|\le 2n)\leqslant 1-3P(|X|> 2n)$

ИСН в сообщении #802483 писал(а):
1. Вы знаете какую-нибудь величину, у которой нет матожидания?

$P(X=n)=\frac 1 {2n^2} при n \geqslant 1 и 0 иначе $
ИСН в сообщении #802483 писал(а):
2. И чему же у неё равен тот предел?

$\lim_n \frac {P(|X|>2n)} {P(|X|>n)}=\frac 1 2$

Если теперь взять $P(X=n)=\frac 1 {2n^{2+\varepsilon}}$, тогда мат ожидание будет конечным при этом предел будет меньше $\frac 1 2$. Тут теперь надо добавить какую нибудь волшебную фразу для завершения доказательства

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что мат ожидание конечно
Сообщение17.12.2013, 13:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
R_e_n в сообщении #802548 писал(а):
$P(n<|X|\le 2n)=P(|X|\le 2n)-P(n<|X|)=1-P(|X|> 2n)-P(|X|>n) \leqslant 1-3P(|X|> 2n)$

Я не это имела в виду. У нас есть вероятность больших $X$, т.е. бОльших $n$. И еще в 2 раза бОльших.
Имеем $P(n<|X|\le 2n)=P(|X|>n)-P(|X|> 2n)>P(|X|> 2n)$

Сейчас убегаю. Думаю, где-то на этом пути можно показать, что вероятности с ростом $n$ убывают достаточно быстро.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что мат ожидание конечно
Сообщение17.12.2013, 13:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Волшебная фраза будет как-то типа "раз предел величины строго меньше 0.5, то и сама величина с какого-то места будет меньше 0.5, и даже меньше 0.49, а значит, $P(X=n)$ спадает быстрее, чем..."
0.49 здесь условно; поймите, что на самом деле должно стоять на его месте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что мат ожидание конечно
Сообщение17.12.2013, 13:22 


12/10/12
134
provincialka в сообщении #802557 писал(а):
умаю, где-то на этом пути можно показать, что вероятности с ростом $n$ убывают достаточно быстро.


У меня получалось $P(|X|>n)$ ограничить гиперболой, площадь, которой на бесконечности расходится. И интуитивно кажется, что любая функция убывающая быстрее, чем гипербола будет сходиться, но доказать этого я не смог

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что мат ожидание конечно
Сообщение17.12.2013, 14:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Потому что это не так; но неважно.
Как ещё сказать. Вот если бы у нас было $\frac{P(|X|>2n)}{P(|X|>n)} < \frac14$, то Вы бы смогли как-нибудь ограничить хвост (лучше, чем гиперболой)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что мат ожидание конечно
Сообщение17.12.2013, 15:13 


12/10/12
134
$ \lim_n \frac{P(|X|>2n)}{P(|X|>n)} < \frac 1 2 \to \exists n_0, \forall m>n_0  \exists \varepsilon>0$, что

$\frac{P(|X|>2m)}{P(|X|>m)}<\frac 12 - \varepsilon$

Рассмотрим случайную величину $Y$, такую что
$P(|Y|=n)=\frac 1{2n^{2+\alpha}}, n \geqslant 1, \alpha>0 $

Для нее $\frac{P(|Y|>2n)}{P(|Y|>n)}=\frac 1{2^{1+\alpha}}$

Выберем $\alpha$ таким, что

$\frac{P(|X|>2m)}{P(|X|>m)}<\frac 12 - \varepsilon<\frac{P(|Y|>2m)}{P(|Y|>m)}=\frac 1{2^{1+\alpha}}<\frac 12 - \frac {\varepsilon}2<\frac 12 $

Откуда $\log_2(\frac 1{1-\varepsilon})<\alpha<\log_2(\frac 1{1-2\varepsilon})$.
Тут хочется сказать, что $\sum {P(|Y|>n)}<+\infty \to \sum {P(|X|>n)}<+\infty$, но в этом я пока до конца не уверен.

ИСН в сообщении #802572 писал(а):
Вот если бы у нас было $\frac{P(|X|>2n)}{P(|X|>n)} < \frac14$, то Вы бы смогли как-нибудь ограничить хвост (лучше, чем гиперболой)?

Если я правильно посчитал, то весь хвост начиная с момента m будет меньше $2\sqrt{m}$ (это если $\frac{P(|X|>2n)}{P(|X|>n)} = \frac14$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что мат ожидание конечно
Сообщение17.12.2013, 15:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Я гну примерно в ту же сторону: как бы нам нахлобучить нашу величину каким-нибудь $P(X>n)\le\frac{const}{n^{1+\alpha}}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group