Сложная олимпиадная задача

[aaalexxx]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей. Условие: cколько решений в натуральных числах имеет уравнение $x_1+x_2+\ldots+x_8=x_1x_2\ldots x_8$ при условии, что $x_1 \geqslant x_2\geqslant\ldots\geqslant x_8$.
Я не знаю, что делать с задачей. Прочитал на форуме, что если у уравнения, в котором сумма переменных равна определенному числу, требуется найти кол-во решений, то можно воспользоваться комбинаторной формулой. Но проблема в том, что здесь не число, а произведение переменных.

[gris]

Ну можно начать с подбора хотя бы одного решения. Несколько единиц, двоечка и ещё что-то. Потом попробовать определить, с чего вообще может начинаться последовательность. С двойки может? Надо хоть с чего-то начать.

[provincialka]

Обратите внимание, что произведение обычно больше суммы, иногда значительно больше. Как же они могут быть равны?

[aaalexxx]

Вот мое решение:
Найдем решение, при которых $x_1,x_2,\ldots x_8$ будут минимальны. Первое решение:
$x_1=3; x_2=x_3=2; x_4=x_5=\ldots=x_8=1$. Если увеличивать последние пять членов, то произведение будет возрастать гораздо быстрее суммы, значит, они остаются неизменными. Будем изменять первые три члена. Т.к. по условию каждый следующий член больше или равен предыдущему, то если увеличить третий, то и предыдущий увеличиться, но, тогда сумма будет меньше произведения. Оставить неизменным его нельзя, так как предыдущие будут, как минимум, не меньше прежних своих значений, и тогда приведенное раньше решение является единственным. Значит, надо уменьшить $x_3$. Теперь, сумма больше произведения, значит надо изменить $x_2$ и $x_1$. Если увеличить второй член, то предыдущий будет не меньше своего прежнего значения. Пусть $x_2=3$, тогда сумма больше произведения. Если продолжать увеличивать его, сумма будет меньше произведения. Получаем, что $x_2$ надо оставить прежним или уменьшить. Если его уменьшить, сумма будет больше произведения. Итак, $x_2$ не меняет своего значения. Рассмотрим $x_1$. Если его уменьшить или не менять сумма будет больше произведения. Значит, его надо увеличить. Новое решение: $x_1=8; x_2=2; x_3=x_4=x_5=\ldots=x_8=1$. Но при $x_1>8$ сумма будет меньше произведения. Следовательно, уравнение имеет два решения.
Достаточно обоснованное ли у меня доказательство?

[provincialka]

Ну, это скорее похоже на некие эвристические рассуждения. Неплохо бы все это формулами записать.
Например, воспользоваться тем, что число 8 является степенью двойки, так что иксы можно делить на равные группы трижды.

[aaalexxx]

А в чем заключается ошибочность?
Я привел это решение вначале.

[provincialka]

Посмотрите, я уже исправила. И все же некоторая неуверенность остается. такие вещи как "

aaalexxx в сообщении #798854 писал(а):

Если увеличивать последние пять членов, то произведение будет возрастать гораздо быстрее суммы, значит, они остаются неизменными.

требуют все же доказательства.

Обычно в олимпиадных задачах есть два этапа. Сначала решаешь ее эвристически, а потом ищешь формальное доказательство. И оно может быть внешне совсем не похожим на эти идеи, "возрастает гораздо быстрее".

[aaalexxx]

Доказательства на конкретном примере (добавить 1 к пяти последним членам и сравнить сумму и произведение) не хватит? Требуется доказательство в общем виде?

[provincialka]

Не хватит. И что значит "добавить 1 к пяти последним членам"? К каждому? К какому-нибудь? Если не к каждому (а с чего бы это вдруг?), то придется аккуратно перебрать все случаи, да еще доказать, что ничего не пропустили. Нет, этот путь не для олимпиадной задачи.
Тут, конечно, главное доказать, что $x_4=1$. Я придумала некий метод, от противного. Но вы подумайте сами.

[Shadow]

Можно сначала доказать, что число единичек должно быть 5 или больше. Например поделив на $x_1x_2\cdots x_8$. В левой части получим сумму 8-ми дробей с числителем 1 и знаменатели произведение 7-и чисел. Если единичек 4 или меньше, каждое слагаемое не больше $\frac 1 8$ , некоторые строго меньше. А с двумя и тремя неизвестными справитесь.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Евгений Машеров]

Мне кажется, сложность тут единственно в том, что надо понять, что проще ответить не на вопрос задачи а на, вообще говоря, более сложный: "Какие решения у этой задачи?" И, выписав их все, просто пересчитать. Доказательство того, что единиц в решении не менее пяти, приведено было выше. То, что не 8 и не 7 единиц - проверяется легко. И дальше остаётся исследовать решения
$x_1+x_2+x_3=x_1x_2x_3-5, x_i>1$
и
$x_1+x_2=x_1x_2-6, x_i>1$