2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопрос по теории категорий
Сообщение09.12.2013, 17:57 


28/11/13
14
Добрый вечер!

Пытаюсь показать, что ковариантный Hom-функтор $Hom(X,-)$ сохраняет декартовы квадраты, то есть пуллбеки. То есть, если у нас есть диаграмма
$
\begin{array}{ccc}
D & \rightarrow & B \\
\downarrow & & \downarrow \\
A & \rightarrow & C
\end{array}
$
где $f:A \rightarrow C,\ g:B \rightarrow C$, a $p:D \rightarrow A,\ q:D \rightarrow B$ и $g \circ q = f \circ p$, причем для любого объекта $Z$ и пары стрелок $u:Z \rightarrow A,\ v:Z\rightarrow B$, т.ч. $g \circ v = f \circ u$, существует единственный морфизм $\varphi:Z \rightarrow D$ такой, что $u = p \circ \varphi$, $v = q \circ \varphi$,
то диаграмма
$
\begin{array}{ccc}
Hom(X,D) & \rightarrow & Hom(X,B) \\
\downarrow & & \downarrow \\
Hom(X,A) & \rightarrow & Hom(X,C)
\end{array}
$,
c соответствующими стрелками также является диаграммой пуллбека, то есть удовлетворяет тем же свойствам.
Несложно показать (по определению функтора), что эта диаграмма является коммутативной (да и существование вообще: в категории Set пуллбеки всегда существуют). Но как показать теперь универсальность, т.е. что для любого $Q$ и пары стрелок $u':Q \rightarrow Hom(X,A), v' : Q \rightarrow Hom(X,B)$ таких что $Hom(X,f) \circ u' = Hom(X,g) \circ v'$, существует единственный морфизм $\psi:Q \rightarrow Hom(X,D)$, такой что $u' = Hom(X,p) \circ \psi$, $v' = Hom(X,q) \circ \psi$?

Я делал так: пускай есть два таких морфизма, $\psi_1$ и $\psi_2$, такие что $u' = Hom(X,p) \circ \psi_1 = Hom(X,p) \circ \psi_2$, $v' = Hom(X,q) \circ \psi_1 = Hom(X,q) \circ \psi_2$, тогда получаем $Hom(X,f \circ p) \circ \psi_1 = Hom(X, f \circ p) \circ \psi_2$, что ни к чему не приводит.

Подскажите, пожалуйста, как завершить доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории категорий
Сообщение09.12.2013, 18:26 
Заслуженный участник


08/01/12
915
ipp в сообщении #798305 писал(а):
Но как показать теперь универсальность

Предлагаю вспомнить, что исходный квадрат декартов. Для каждого $q\in Q$ у Вас заданы морфизмы из $X$ в $A$ и $B$ с некоторым свойством: поэтому имеется и морфизм в $D$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории категорий
Сообщение09.12.2013, 18:39 


28/11/13
14
apriv в сообщении #798316 писал(а):
ipp в сообщении #798305 писал(а):
Но как показать теперь универсальность

Предлагаю вспомнить, что исходный квадрат декартов. Для каждого $q\in Q$ у Вас заданы морфизмы из $X$ в $A$ и $B$ с некоторым свойством: поэтому имеется и морфизм в $D$.


Извините, пожалуйста, но можно подробнее? Исходный квадрат декартов, да, просто я не очень понимаю, как отождествить элемент из $Q$ с морфизмами $X \rightarrow A$ и $X \rightarrow B$. Более того, какими свойствами должны обладать эти морфизмы? Ведь условие того, что первый квадрат декартов не говорит ничего о том, какими свойствами должны обладать эти самые морфизмы для произвольного объекта $X$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории категорий
Сообщение09.12.2013, 20:42 


28/11/13
14
Также, откуда есть морфизм в $D$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории категорий
Сообщение09.12.2013, 20:43 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Ну вот Вы пишете
ipp в сообщении #798305 писал(а):
для любого $Q$ и пары стрелок $u':Q \rightarrow Hom(X,A), v' : Q \rightarrow Hom(X,B)$

Эти стрелки и означают, что для каждого $q\in Q$ заданы морфизмы $u'(q)\colon X\to A$ и $v'(q)\colon X\to B$, а дальнейшее «таких что» означает, что композиции этих морфизмов с морфизмами в $C$ совпадают, то есть, выполняются условия из определения декартовости квадрата.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории категорий
Сообщение09.12.2013, 20:46 


28/11/13
14
apriv в сообщении #798384 писал(а):
Ну вот Вы пишете
ipp в сообщении #798305 писал(а):
для любого $Q$ и пары стрелок $u':Q \rightarrow Hom(X,A), v' : Q \rightarrow Hom(X,B)$

Эти стрелки и означают, что для каждого $q\in Q$ заданы морфизмы $u'(q)\colon X\to A$ и $v'(q)\colon X\to B$, а дальнейшее «таких что» означает, что композиции этих морфизмов с морфизмами в $C$ совпадают, то есть, выполняются условия из определения декартовости квадрата.


Хорошо. Но хоть убей не вижу, как из этого вытекает единственность морфизма в $D$ :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории категорий
Сообщение09.12.2013, 20:48 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Вам нужна единственность морфизма не в $D$, а в $Hom(X,D)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории категорий
Сообщение09.12.2013, 20:51 


28/11/13
14
apriv в сообщении #798387 писал(а):
Вам нужна единственность морфизма не в $D$, а в $Hom(X,D)$.


Да, простите, именно о ней и речь. Единственность морфизма в $D$ и так есть, ибо это пуллбэк. Откуда теперь берется единственность морфизма в $Hom(X,D)$? Ну, то есть, насколько я понял, в этом случае нужно как-то "перенести" единственность морфизма в $D$, но вот как (даже если мы имеем хорошее условие на композиции)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории категорий
Сообщение09.12.2013, 20:52 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Ну так предположите, что есть два морфизма из $Q$ в $Hom(X,D)$, тогда они отличаются в некоторой точке $q\in Q$, ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории категорий
Сообщение09.12.2013, 20:56 


28/11/13
14
apriv в сообщении #798390 писал(а):
Ну так предположите, что есть два морфизма из $Q$ в $Hom(X,D)$, тогда они отличаются в некоторой точке $q\in Q$, ...


Именно это я и делал ($\psi_1$ и $\psi_2$) в первом сообщении, мой вопрос как раз-таки был про то, как выбраться из этого тупика, то есть, видимо, куда прикручивать то, что исходный квадрат декартов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории категорий
Сообщение09.12.2013, 20:58 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Продолжаем: значения этих двух морфизмов в точке $q$ дают нам два морфизма из $X$ в $D$, которые...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории категорий
Сообщение09.12.2013, 21:05 


28/11/13
14
apriv в сообщении #798394 писал(а):
Продолжаем: значения этих двух морфизмов в точке $q$ дают нам два морфизма из $X$ в $D$, которые...


Либо я совсем запутался, либо далее нужно сказать, что морфизм $X \rightarrow D$, такой что $u$ есть композиция этого морфизма и морфизма $D \rightarrow A$, a $v$ -- такая же композиция с $D \rightarrow B$, должен быть единственным.

-- 09.12.2013, 23:08 --

То есть, те самые морфизмы $X \rightarrow A$ и $X \rightarrow B$ должны быть композициями $X \rightarrow D$ с $D \rightarrow A$ и $D \rightarrow B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории категорий
Сообщение09.12.2013, 21:18 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Ну да, они и есть композиции, если Вы вспомните определение стрелочек вида $Hom(X,f)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории категорий
Сообщение09.12.2013, 21:21 


28/11/13
14
apriv в сообщении #798411 писал(а):
Ну да, они и есть композиции, если Вы вспомните определение стрелочек вида $Hom(X,f)$.


Ну, если, скажем, $f:A \rightarrow C$, то $Hom(X,f):Hom(X,A) \rightarrow Hom(X,C)$, то есть, любая стрелка из $Hom(X,A)$ посылается в композицию: $h \mapsto f \circ h$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group