Конечные поля и группы Галуа

[DoubleBubble]

Здравствуйте!

Помогите разобраться с задачей.

Пусть $k=\mathbb{F}_{13}(t)$ - есть поле рациональных функций над $\mathbb{F}_{13}$. Нужно построить расширение Галуа $[K:k]$ c с группой Галуа $(\mathbb{Z}/2)^2$.

У $(\mathbb{Z}/2)^2$ порядок 4, значит нам нужно получить расширение степени 4. Получается если присоединить корни многочлена $t^4-2$, то получим нужное расширение. Но я не уверен в этом решении.

[Xaositect]

У многочлена $t^4 - 2$ над $F_{13}(t)$ нет корней, это константа :) Следите за буквами.

Если имелось в виду $x^4 - 2$, то не подойдет - у него группа Галуа $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$.

[DoubleBubble]

Тогда что такое $(\mathbb{Z}/2)^2$?

[ex-math]

Есть две неизоморфных группы порядка 4.

[Xaositect]

DoubleBubble в сообщении #797497 писал(а):

Тогда что такое $(\mathbb{Z}/2)^2$?

$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ - это прямое произведение $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ на себя.

[DoubleBubble]

И чем это отличается от $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$?

[Xaositect]

Ну например тем, что там нет элементов порядка 4.

[DoubleBubble]

Окей, тогда как понять, как решается эта задача?

[AV_77]

Четверная группа получится при двух квадратичных расширениях.

[DoubleBubble]

То есть мне подходит многочлен $x^4-5x^2+6$?

[AV_77]

Нет.

[DoubleBubble]

Квадратичное расширение - расширение степени два, так?

[AV_77]

Конечно. Только надо аккуратно выбирать присоединяемые корни. Например, в $\mathbb{F}_{13}$ есть квадратичные вычеты и есть квадратичные невычеты. Тройка является квадратичным вычетом, поэтому $x^2-3$ разложим в $\mathbb{F}_{13}$. Кроме того, если $a$ - квадратичный невычет, то после присоединения корней уравнений $x^2-a$ все многочлены второй степени над $\mathbb{F}_{13}$ будут разложимы. Поэтому понадобится как-то использовать $t$. У вас ведь основное поле $\mathbb{F}_{13}(t)$.

[DoubleBubble]

5 - не квадратичный элемент, поэтому первым расширением будет $\mathbb{F}_{13}(\sqrt{5})$.
А следующим, видимо, $\mathbb{F}_{13}(\sqrt{5},\sqrt{t})$?

[DoubleBubble]

Ну ведь $\mathbb{F}_{13}(\sqrt{5},\sqrt{t})\supset\mathbb{F}_{13}(\sqrt{5})\supset\mathbb{F}_{13}$. Оба расширения степени два, значит $\mathbb{F}_{13}(\sqrt{5},\sqrt{t})$ над $\mathbb{F}_{13}$ степени 4, так?