2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение04.12.2013, 20:04 
Аватара пользователя


17/10/13
680
Деревня
Здравствуйте! Скажите, верны ли мои рассуждения?Можно ли "подкрепить" моё доказательство какими-либо теоремами,чтобы не объяснять все очевидные вещи?Заранее спасибо!
Пусть существует функция, принимающая все действительные значения ровно два раза. Тогда эта функция два раза обращается в ноль, положим $f(a)=0$ и $f(b)=0$. Для определенности пусть $a<b$.Очевидно, что на интервале $(a;b)$ функция либо положительна, либо отрицательна(иначе бы появился ещё один ноль) ,тогда функция имеет максимум на $(a;b)$ или минимум(если она отрицательна на этом интервале).Будем обозначать $y_\max$ максимальное значение на интервале $(a;b)$.Cразу скажем,что для $y_\max$ нет подходящей точки в интервале $(a;b)$,так как иначе бы некоторые значения принимались более двух раз на этом же интервале. Также можно утверждать, что на этом интервале функция принимает все действительные значения в промежутке $[0;y_{\max})$ ровно два раза(если более двух-не подходит, менее двух не может, так как на краях отрезка $[a;b]$ она обращается в ноль, а также на $[a;b]$ она имеет максимум, то есть, ограничена сверху). Также, если существует точка с такой же ординатой($y_\max$),то она должна быть больше нуля, так как и $y_\max>0$. Учитывая то, что функция непрерывна, то $\exists \varepsilon>0:f(a-\varepsilon)<f(y_{\max})$(Здесь $\varepsilon$ очень маленькое число) . Пусть $f(a-\varepsilon)>0$ - в таком случае, это не будет удовлетворять условию задачи(некоторые значения будут приниматься более двух раз)=> $f(a-\varepsilon)<0$Тогда и все значения функции в интервале $(-\infty;a)$ отрицательны(так как если они положительны, а $f(a-\varepsilon)<0$ то появился бы третий ноль). Аналогичным способом доказываем то, что все значения функции в интервале $(b;+\infty)$ отрицательны. Значит для значения $y_\max$ нет подходящей точки, что и требовалось доказать. По аналогии доказываем случай, если функция на интервале $(a;b)$ отрицательна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение04.12.2013, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11349
Казань
MestnyBomzh в сообщении #796328 писал(а):
принимающая все действительные значения ровно два раза.
В смысле каждое вещественное значение?

А ваша функция непрерывная? Вы используете какие-то такие свойства (существование экстремума, например), но о непрерывности в условии не говорите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение04.12.2013, 20:15 
Аватара пользователя


17/10/13
680
Деревня
provincialka в сообщении #796333 писал(а):
А ваша функция непрерывная

Да,кончено,это я упомянуть забыл...изначально функция непрерывна,конечно же

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение04.12.2013, 21:30 
Аватара пользователя


17/10/13
680
Деревня
provincialka в сообщении #796333 писал(а):
А ваша функция непрерывная? Вы используете какие-то такие свойства

А если добавить, что функция непрерывна,то доказательство верное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение04.12.2013, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
MestnyBomzh в сообщении #796328 писал(а):
Скажите, верны ли мои рассуждения?Можно ли "подкрепить" моё доказательство какими-либо теоремами,чтобы не объяснять все очевидные вещи?Заранее спасибо!

Ну можно чуть проще: пусть $f$ такая функция. Пусть $f(a)=f(b)=0, a<b$, пусть функция положительна на интервале $(a,b)$ (отрицательный случай аналогичен).
Тогда для любого $0<\varepsilon<f(c)$ существуют точки $x\in(a,c)$ и $y\in(c,b)$, такие, что $f(x)=f(y)=\varepsilon$ — потому что непрерывная функция на отрезке принимает все промежуточные значения.
А значит, всюду вне интервала $(a,b)$ функция знакоопределена. Ну и всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение04.12.2013, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11349
Казань
MestnyBomzh в сообщении #796328 писал(а):
Также, если существует точка с такой же ординатой($y_\max$),то она должна быть больше нуля,
Кто должен быть больше нуля? Точка? Или ордината? Видимо второе.

Честно скажу, с момента появления $\varepsilon$ у меня мозги свернулись. Ниасилила. Может, все можно попроще сделать?

А вот, вижу, вам уже предложили ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение04.12.2013, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
MestnyBomzh в сообщении #796328 писал(а):
Cразу скажем,что для $y_\max$ нет подходящей точки в интервале $(a;b)$,так как иначе бы некоторые значения принимались более двух раз на этом же интервале.

Я не очень это понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение04.12.2013, 21:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11349
Казань
Ну, имеется в виду, что $y_{\max}$ не может приниматься дважды внутри интервала, так как между этими двумя точками (например, $c,d$) некоторые значения повторялись бы более двух раз: между $a$ и $c$, между $c$ и $d$, между $d$ и $b$. Только я не поняла, автор считает это очевидным, или дальнейший текст содержит доказательство этого факта?
MestnyBomzh, вы бы как-то разбивали доказательство на абзацы, что ли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение04.12.2013, 21:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
provincialka в сообщении #796373 писал(а):
Ну, имеется в виду, что $y_{\max}$ не может приниматься дважды внутри интервала, так как между этими двумя точками (например, $c,d$) некоторые значения повторялись бы более двух раз: между $a$ и $c$, между $c$ и $d$, между $d$ и $b$. Только я не поняла, автор считает это очевидным, или дальнейший текст содержит доказательство этого факта?

Это неверно, насколько я могу представить.
Не так сложно построить пример функции, непрерывной на отрезке, которая каждое своё значение принимает два раза промахиваюсь мимо клавиатуры — чётное число раз. Каждое значение — чётное число раз. А максимум — два раза.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение04.12.2013, 21:58 
Аватара пользователя


17/10/13
680
Деревня
Я имел в виду,что если $y_\max$ будет приниматься на $(a;b)$ 2 раза,то другие значения, которые "ниже" максимума будут приниматься более двух раз,а это не удовлетворяет условию

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение04.12.2013, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11349
Казань
Четным - да, может. Но автор же говорит о ровно двух. В случае равных максимумов получается "двугорбый верблюд", и около вершин горбов уравнение $f(x)=h$ имеет 4 корня. Лишнего.
Впрочем, я только попыталась "перевести" мысль автора. Доказывать ее - его забота.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение04.12.2013, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
А-а-а. Понял. Тогда, наверное, правильно, но как-то я с трудом смог прочесть первый пост. Там идея-то простая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение04.12.2013, 22:04 
Аватара пользователя


17/10/13
680
Деревня
У меня преподаватель придирчивый:-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение04.12.2013, 22:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
MestnyBomzh в сообщении #796384 писал(а):
У меня преподаватель придирчивый:-)

Ну то есть, я бы остановился на том, что на отрезке есть максимум, значения между нулем и максимумом принимаются на отрезке дважды, а значит вне отрезка функция по крайней мере одного знака. А на отрезке значения ограничены.

А зачем вам это: 2 раза, 3 раза? Проще же каждое значение 1 раз. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение04.12.2013, 22:08 


05/09/12
2293
Если под непрерывностью понимать непрерывность на области определения, то две ветки обычного тангенса могут быть контрпримером, имхо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group