2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Бесплатно.
Сообщение07.02.2014, 16:31 


29/09/06
4552
CraniumEugene в сообщении #794692 писал(а):
Есть определенное количество точек на плоскости (пусть будет 10), по которым задана какая-то кривая.
............
Необходимо вычислить опорные точки для кривой Безье 3-го порядка, которая аппроксимирует данную кривую.
Вам нужно аппроксимировать точки или какую-то данную кривую? Если точки --- то зачем писать про кривую (и про какие-то непонятные производные)? Если кривую, и она действительно "данная", то какая разница, было ли там 10 точек или 20?

Из этого делаем 2 вывода:
1) Вам нужно аппроксимировать $n$ точек с помощью кубической кривой Безье, причём (это выводим уже из последующей дискуссии) в упрощённом варианте: начало и конец кривой совпадают с первой и последней из заданных точек.
2) Задача достаточно сложная, требует гораздо более приличного уровня владения математикой, нежели Вами проявленный.

CraniumEugene в сообщении #822351 писал(а):
$F(p1.y,p2.y) = \sum_t_=_0 (y_i  - (1-t)^3 * p0.y + 3*t*(1-t)^2 *p1.y + 3 * t^2 *(1-t) * p2.y + t^3* p3.y )^2 ; $
Я так понимаю, сведения о кривых Безье Вы получили из какой-то книги или из Интеренту. Неужели в первоисточнике был написан такой ужас с звёздогчками???

Мне не раз хотелось чего-то подобного, но слишком лень браться за то решение, которое я ниже предложу. Описаний каких-либо других подходов к решению я в книжках не встречал. А самому видится только тупое решение. Хотя, со всякими там хитроумными модерновыми пакетами, типа Экселей (часто слышал такое слово, и напоминает волшебную палочку), может и это легко сделается.

У Вас два кубических уравнения-полинома $X=x(t;a,c),\; Y=y(t;b,d)$, коэффициенты которых содержат 4 неизвестных, координаты $(a,b)$ и $(c,d)$ искомых опорных точек. Исключив параметр, получим неявное уравнение кривой третьего порядка $F(X,Y;a,b,c,d)=0$, коэффициенты которой (при $X^iY^j$) будут нелинейными функциями четырёх неизвестных. Теперь МНК (нелинейный, естессно, но Экселю, надесь, по барабану): минимизируем $$\Phi(a,b,c,d)=\sum_{i=1}^n w_i^2 F^2(X_i,Y_i;a,b,c,d).$$ Возможно, нулевое приближение (для нелинейного МНК) легко отыщется подстановкой в уравнение кривой каких-либо двух промежуточных точек. Ну и в какой-то приличной системе координат, скажем, в такой, что $P_1=(-h,0)$, $P_n=(h,0)$.

Весовые множители $w_i$ следует поначалу принять равными единице. Я их упомянул с намёком на особо неленивых и вторую итерацию, в которой, получив приличное первое приближение кривой, можно подобрать весовые множители так, чтобы функционал был "более геометричным", т.е. чтобы "невязки" $w_i F(X_i,Y_i;a,b,c,d)$ были близки к истинному расстоянию от точки до кривой. Для определения $w_i$, как мне представляется, достаточно будет оценить что-то вроде кривизны кубики $F(X,Y;\ldots)=0$ в районе $i$-той точки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group