2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Равностепенная непрерывность
Сообщение27.11.2013, 16:43 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Будет ли равностепенным следующее множество

$S = \{x \in C[0,1] | ~\exists a \in (0;1] : \forall t \in [0,1] \longrightarrow x(t) = t^a\}?$

Определение. Пусть $(T, \rho)$ - компактное метрическое пространство.
Множество $S \subset C(T) $ называется равностепенно непрерывным, если $\forall \varepsilon ~ \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0: ~ \forall t, \tau \in T$ таких, что $\rho(t,\tau)<\delta$ и $~ \forall x \in S$ выполнено неравенство $|x(t) - x(\tau)| < \varepsilon.$

В нашем случае:

$T = [0,1], \rho(x,y) = |x-y|.$
Пробую доказать, что наше множество S удовлетворяет этому определению.
Беру $0 < \delta < 1.$ (для $\delta > 1$все выполнено так $t, \tau \in [0,1]$. Из неравенства $|t- \tau | < \delta$ следует $t < \tau + \delta$, поэтому
$|t^a - {\tau}^a| < |(\tau + \delta)^a - {\tau}^a| \le |(\tau + \delta)^a| = {\delta}^a(1+\frac{\tau}{\delta})^a \simeq  {\delta}^a(1 + a\frac{\tau}{\delta}) = {\delta}^a + a\tau {\delta}^{a-1}  \le {\delta}^a + {\delta}^{a-1} \le 2{\delta}^{a-1}$.
Последнее неравенство выполнено в силу $a \le 1, \tau \le 1.$
Дальше нужно каким-то образом избавиться от a, но у меня не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равностепенная непрерывность
Сообщение27.11.2013, 16:52 


10/02/11
6786
рассмотрите последовательность $x_n(t)=t^{1/n}$. Если равностепенная последовательность функций сходится поточечно, то она сходится равномерно. А если последовательность непрерывных функций сходится равномерно, то предельная функция тоже непрерывна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равностепенная непрерывность
Сообщение27.11.2013, 17:00 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Oleg Zubelevich в сообщении #793429 писал(а):
рассмотрите последовательность $x_n(t)=t^{1/n}$. Если равностепенная последовательность функций сходится поточечно, то она сходится равномерно.


Эта последовательность сходится к 1 при $n \to \infty$ поточечно. Но это последовательность равностепенная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равностепенная непрерывность
Сообщение27.11.2013, 17:01 


10/02/11
6786
Dosaev в сообщении #793433 писал(а):
Эта последовательность сходится к 1 при $n \to \infty$ поточечно.

считайте лучше

 Профиль  
                  
 
 Re: Равностепенная непрерывность
Сообщение27.11.2013, 17:06 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Oleg Zubelevich в сообщении #793434 писал(а):
считайте лучше

$t^0$ не равно 1? :shock:
Oleg Zubelevich в сообщении #793429 писал(а):
А если последовательность непрерывных функций сходится равномерно, то предельная функция тоже непрерывна.

Но представима ли она как $t^a, a \in (0;1]?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Равностепенная непрерывность
Сообщение27.11.2013, 17:15 


10/02/11
6786
к чему сходится указанная последовательность в точке $t=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равностепенная непрерывность
Сообщение27.11.2013, 17:21 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Oleg Zubelevich в сообщении #793441 писал(а):
к чему сходится указанная последовательность в точке $t=0$?

К нулю (как стационарная). Ну и для других $t \in (0,1]$ (я тут посмотрел определение поточечной сходимости) получается что это последовательность поточечно сходится к нулю, если подобрать соответствующий номер, зависящий от эпсилон и t?

-- Ср ноя 27, 2013 17:22:52 --

Просто я пока не уловлю, почему мы рассматриваем такую последовательность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равностепенная непрерывность
Сообщение27.11.2013, 17:22 


10/02/11
6786
Dosaev в сообщении #793444 писал(а):
(я тут посмотрел определение поточечной сходимости) получается что это последовательность поточечно сходится к нулю, если подобрать соответствующий

это неверно, ну еще посмотрите определение

-- Ср ноя 27, 2013 17:23:59 --

Dosaev в сообщении #793444 писал(а):
Просто я пока не уловлю, почему мы рассматриваем такую последовательность.

мы доказываем, что множество $S$ не является равностепенным

 Профиль  
                  
 
 Re: Равностепенная непрерывность
Сообщение27.11.2013, 17:42 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Ни к нулю, ни к единице... Не буду гадать, признаюсь: понятий не имею :-(
Вообще, я больше склонялся к тому, что это последовательность сходится поточечно к единице и для меня это как-то было очевидно, так как $a^{\frac{1}{n}} \to 1 (n \to \infty)$ при фиксированном $a$. Но эта очевидность, видать, сыграла со мной злою шутку, поэтому я теперь в недоразумении...

 Профиль  
                  
 
 Re: Равностепенная непрерывность
Сообщение27.11.2013, 18:02 


10/02/11
6786
Ну можно конечно еще проще:
для любого $\xi\in (0,1]$ найдется номер $N$ такой, что для всех $n>N$ верно неравенство $|x_n(0)-x_n(\xi)|>1/2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равностепенная непрерывность
Сообщение27.11.2013, 18:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Dosaev, а почему предел должен быть равен константе? Ясно, что $a^0=1$ при $a>0$. Но $0^0$ это неопределенность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равностепенная непрерывность
Сообщение27.11.2013, 21:45 
Аватара пользователя


26/02/11
332
provincialka в сообщении #793484 писал(а):
Dosaev, а почему предел должен быть равен константе? Ясно, что $a^0=1$ при $a>0$. Но $0^0$ это неопределенность.

Ну да, я согласен с вами, например если взять ${\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} \to 1 ~(n \to \infty)$. а Oleg Zubelevich, написал похоже отрицание равномерной непрерывности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равностепенная непрерывность
Сообщение27.11.2013, 22:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Dosaev в сообщении #793570 писал(а):
а Oleg Zubelevich, написал похоже отрицание равномерной непрерывности?
. Пусть сам скажет. Если я правильно поняла, здесь были предложены по-крайней мере два пути решения: исходя из определения, и с использованием свойств. Берите любое!

-- 27.11.2013, 23:16 --

provincialka в сообщении #793484 писал(а):
Dosaev, а почему предел должен быть равен константе? Ясно, что $a^0=1$ при $a>0$. Но $0^0$ это неопределенность.
Я имела в виду, что $1/n\to 0$, поэтому пределом последовательности функций $a^{1/n}$ будет функция, равная $0$ в нуле и $1$ в остальных точках. Она какая? Непрерывная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равностепенная непрерывность
Сообщение29.11.2013, 11:25 
Аватара пользователя


26/02/11
332
provincialka в сообщении #793484 писал(а):
Я имела в виду, что $1/n\to 0$, поэтому пределом последовательности функций $a^{1/n}$ будет функция, равная $0$ в нуле и $1$ в остальных точках. Она какая? Непрерывная?

Нет, разрывная (разрыв первого рода в нуле). Только я все равно тут не вижу связи с равностепенной непрерывностью. У нас же она должна быть из S? А она не из S.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равностепенная непрерывность
Сообщение29.11.2013, 12:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Именно, не является. Сравните сэтим:
Oleg Zubelevich в сообщении #793429 писал(а):
рассмотрите последовательность $x_n(t)=t^{1/n}$. Если равностепенная последовательность функций сходится поточечно, то она сходится равномерно. А если последовательность непрерывных функций сходится равномерно, то предельная функция тоже непрерывна.
У вас это выполняется?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group