задача по теории вероятностей

[ecartman]

Решаю задачу с одной из Колмогоровских олимпиад: требуется показать, радиус сходимости ряда $G(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\xi_n z^n$, где $\{\xi_n\}_{n\ge1}$ независимые и одинаково распределенные сл. величины, с вероятностью 1 равен либо 0 либо 1 при определенных условиях. Пытаюсь делать следующее: по определению радиус сходимости равен $R=1/\limsup|\xi_n|^{1/n}$, тогда для $c>0$ можно записать $\Pr(R<1/c)=\Pr(\limsup|\xi_n|^{1/n}>c)$. Далее, т.к., $\limsup\{|\xi_n|^{1/n}>c\}\subset\{\limsup|\xi_n|^{1/n}>c\}$, то получаем, что

$$ \Pr(R<1/c)=\Pr(\limsup|\xi_n|^{1/n}>c)\ge\Pr(\limsup\{|\xi_n|^{1/n}>c\})=\Pr(|\xi_n|^{1/n}>c\;\;\text{i.o.}). $$

Последняя вероятность по лемме Бореля-Кантелли либо 1 либо 0, зависит от того, какие $c$. Если $c\le 1$, то $\Pr(|\xi_n|^{1/n}>c)=\Pr(|\xi_n|>c^n)$ не будет стремиться к нулю, и $\sum_n\Pr(|\xi_n|>c^n)=\infty$ и тогда $\Pr(|\xi_n|^{1/n}>c\;\;\text{i.o.})=1$. Т.е. получается что $\Pr(R<1/c)=1$ для всех $c\le 1$. Как показать, что $R$ не может быть меньше 1? Спасибо.

[Ms-dos4]

В принципе вы почти всё уже показали. Итак, если $\[c \le 1\]$, то $\[P(R < \frac{1}{c}) = 1\]$, а т.к. в данном случае $\[\frac{1}{c} \ge 1\]$ , рассматривая крайний случай $\[c = 1\]$ имеем (учитывая, что $\[R\]$ обратно точной верхней грани) $\[R = 1\]$ с вероятностью 1. Осталось рассмотреть случай $\[c > 1\]$. Запишем ряд в виде $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {P(ln\left| {{X_n}} \right| > n\ln c)} \]$. Можно показать, что если с.в. целочисленная, то вводя $\[{q_k} = P(X > k)\]$ - "хвост" распределения, и производящую функцию $\[Q(z) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{q_k}{z^k}} \] $, то $\[Q(1) = M[X]\]$. Тогда видно, что сходимость ряда эквивалента конечности математического ожидания (т.к. у нас натуральные величины, введём $\[k = n + 1\]$) $\[M[\ln (\left| X \right| + 1)]\]$.
Итак, если вышеприведённое мат. ожидание конечно, то при $\[c > 1\]$ $\[P(R < \frac{1}{c}) = 0\]$, или, $\[P(R > \frac{1}{c}) = 1\]$. Устремив c к бесконечности и взяв точную верхнюю грань, получим $\[R = 0\]$ с вероятностью 1.
P.S.За "математическую строгость" не ручаюсь.

[ecartman]

Ms-dos4 в сообщении #791079 писал(а):

В принципе вы почти всё уже показали. Итак, если $\[c \le 1\]$, то $\[P(R < \frac{1}{c}) = 1\]$, а т.к. в данном случае $\[\frac{1}{c} \ge 1\]$ , рассматривая крайний случай $\[c = 1\]$ имеем (учитывая, что $\[R\]$ обратно точной верхней грани) $\[R = 1\]$ с вероятностью 1. Осталось рассмотреть случай $\[c > 1\]$. Запишем ряд в виде $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {P(ln\left| {{X_n}} \right| > n\ln c)} \]$. Можно показать, что если с.в. целочисленная, то вводя $\[{q_k} = P(X > k)\]$ - "хвост" распределения, и производящую функцию $\[Q(z) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{q_k}{z^k}} \] $, то $\[Q(1) = M[X]\]$. Тогда видно, что сходимость ряда эквивалента конечности математического ожидания (т.к. у нас натуральные величины, введём $\[k = n + 1\]$) $\[M[\ln (\left| X \right| + 1)]\]$.
Итак, если вышеприведённое мат. ожидание конечно, то при $\[c > 1\]$ $\[P(R < \frac{1}{c}) = 0\]$, или, $\[P(R > \frac{1}{c}) = 1\]$. Устремив c к бесконечности и взяв точную верхнюю грань, получим $\[R = 0\]$ с вероятностью 1.
P.S.За "математическую строгость" не ручаюсь.

Спасибо за ответ, только я никак не могу понять откуда из утверждения, что $\Pr(R<1/c)=1$ для всех $c\le 1$ следует, что $\Pr(R=1)=1$? Это ведь то же самое, что сказать, что $\Pr(R<a)=1$ для всех $a\ge 1$, т.е., что $R$ почти наверное меньше всего что 1 или выше. Т.е. можно лишь заключить, что $\Pr(R\le 1)=1$. Откуда следует что $\Pr(R=1)=1$ (именно равно, а не меньше) или что $\Pr(R<1)=0$? Спасибо.

[Ms-dos4]

ecartman
Я попробую пояснить. Давайте вернёмся к супремуму. $\[P(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup {\left| {{\xi _n}} \right|^{\frac{1}{n}}} > c) = 1\]$ при $\[c \le 1\]$. Теперь заметьте, что например $\[P(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup {\left| {{\xi _n}} \right|^{\frac{1}{n}}} > 0,6) = 1\]$, $\[P(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup {\left| {{\xi _n}} \right|^{\frac{1}{n}}} > 0,999) = 1\]$ и т.д., поэтому резонно рассматривать именно предельное значение c, т.е. 1 $\[P(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup {\left| {{\xi _n}} \right|^{\frac{1}{n}}} > 1) = 1\]$, а уже например $\[P(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup {\left| {{\xi _n}} \right|^{\frac{1}{n}}} > 1 + \varepsilon ) = 0\]$ (собственно, это результат пункта 2, при условии того, что то мат. ожидание конечно). На основании этого, можно утверждать, что точная верхняя грань равна 1.
Если я не прав, поправьте (всё таки ТВ далеко не моя специальность)

[ecartman]

Ms-dos4 в сообщении #791114 писал(а):

ecartman
Я попробую пояснить. Давайте вернёмся к супремуму. $\[P(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup {\left| {{\xi _n}} \right|^{\frac{1}{n}}} > c) = 1\]$ при $\[c \le 1\]$. Теперь заметьте, что например $\[P(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup {\left| {{\xi _n}} \right|^{\frac{1}{n}}} > 0,6) = 1\]$, $\[P(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup {\left| {{\xi _n}} \right|^{\frac{1}{n}}} > 0,999) = 1\]$ и т.д., поэтому резонно рассматривать именно предельное значение c, т.е. 1 $\[P(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup {\left| {{\xi _n}} \right|^{\frac{1}{n}}} > 1) = 1\]$, а уже например $\[P(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup {\left| {{\xi _n}} \right|^{\frac{1}{n}}} > 1 + \varepsilon ) = 0\]$ (собственно, это результат пункта 2, при условии того, что то мат. ожидание конечно). На основании этого, можно утверждать, что точная верхняя грань равна 1.
Если я не прав, поправьте (всё таки ТВ далеко не моя специальность)

Это то понятно, просто откуда следует, что $\Pr(\limsup_n|\xi_n|^{1/n}>1+\epsilon)=0$? В моем решении используется неравенство, что $\Pr(\limsup_n|\xi_n|^{1/n}>c)\ge\Pr(|\xi_n|^{1/n}>c\;\;\text{i.o.})$, и показывается, что последняя вероятность обращается в нуль при $c<1$. Но это лишь означает, что $\Pr(\limsup_n|\xi_n|^{1/n}>1+\epsilon)\ge0$, что и так всегда верно. Как получить, что $\Pr(\limsup_n|\xi_n|^{1/n}>1+\epsilon)=0$? Должна быть какая-то граница сверху, которая обращается в нуль.

Кроме того, откуда следует, что сходимость ряда $\sum_{n=1}^\infty\Pr(\log|\xi_n|>n\log c)$ эквивалентна конечности $E[\log(|\xi_1|+1)]$? Можно например использовать Чевышева и показать, что для $c>1$

$$ \Pr(\log|\xi_n|>n\log c)=\Pr(\log(|\xi_n|+1)>\log(c^n+1))\le \Pr(\log(|\xi_n|+1)>n\log c) \le\dfrac{E[\log(|\xi_1|+1)]}{n\log c}, $$

но из того, что хвост ряда стремится к нулю (в предположении что $E[\log(|\xi_1|+1)]<\infty$) с ростом $n$ не следует, что сумма ряда конечна. В данном случае как раз не так, так как

$$ \sum_{n\ge1}\dfrac{E[\log(|\xi_1|+1)]}{n\log c}=\infty, $$

даже если $E[\log(|\xi_1|+1)]<\infty$. Поэтому это не означает, что $\sum_{n=1}^\infty\Pr(\log|\xi_n|>n\log c)$ сходится. Это можно легко обойти, возведя все в квадрат например:

$$ \Pr(\log|\xi_n|>n\log c)\le \Pr(\log^2(|\xi_n|+1)>n^2\log^2 c) \le\dfrac{E[\log^2(|\xi_1|+1)]}{n^2\log^2 c}, $$

в этом случае $E[\log^2(|\xi_1|+1)]<\infty$ будет достаточно для сходимости ряда, но не $E[\log(|\xi_1|+1)]<\infty$. Откуда тогда получается, что именно $E[\log(|\xi_1|+1)]<\infty$ достаточно?

[--mS--]

Для любой неотрицательной случайной величины с конечным матожиданием

$$\sum_{n=1}^\infty \mathsf P(\eta \geqslant n)\leqslant \mathsf E\eta \leqslant 1+\sum_{n=1}^\infty \mathsf P(\eta \geqslant n).$$

Соответственно, сходимость ряда $\sum_{n=1}^\infty \mathsf P(\eta \geqslant n)$ и существование матожидания равносильны.

[ecartman]

--mS-- в сообщении #791408 писал(а):

Для любой неотрицательной случайной величины с конечным матожиданием

$$\sum_{n=1}^\infty \mathsf P(\eta \geqslant n)\leqslant \mathsf E\eta \leqslant 1+\sum_{n=1}^\infty \mathsf P(\eta \geqslant n).$$

Соответственно, сходимость ряда $\sum_{n=1}^\infty \mathsf P(\eta \geqslant n)$ и существование матожидания равносильны.

А, спасибо, это теперь понятно. Откуда только следует, $\Pr(\limsup_n|\xi_n|^{1/n}>1+\epsilon)=0$? Я никак не могу связать это с $\{|\xi_n|^{1/n}>1+\epsilon\;\;\text{i.o.}\}$. Все что пока мне удалось показать это то, что $\Pr(R\le 1)=1$. Можно еще добавить, что $R$ измерим относительно хвостовой алгебры $\cap_{n=1}^{\infty}\sigma(\xi_n,\xi_{n+1},\ldots)$, и следовательно подчиняется закону 0-1 Колмогорова. А это значит, что $R$ является константой (п.н.). Но это все равно пока не позволяет свести $\{R\le 1\}$ и равенству.

[--mS--]

Вот уж теперь точно непонятно, что имеется в виду. Эти два события связаны по определению. Вы про эту связь в первом сообщении темы писали: верхний предел не превышает $1+\varepsilon$ п.н. тогда и только тогда, когда если события $\{|\xi_n|^{1/n}>1+\varepsilon\}$ происходят почти наверное конечное число раз. Это выполнено (независимость событий) тогда и только тогда, когда ряд из их вероятностей сходится. А это выполнено тогда и только тогда, когда матожидание логарифма существует.

[ecartman]

--mS-- в сообщении #793255 писал(а):

Вот уж теперь точно непонятно, что имеется в виду. Эти два события связаны по определению. Вы про эту связь в первом сообщении темы писали: верхний предел не превышает $1+\varepsilon$ п.н. тогда и только тогда, когда если события $\{|\xi_n|^{1/n}>1+\varepsilon\}$ происходят почти наверное конечное число раз. Это выполнено (независимость событий) тогда и только тогда, когда ряд из их вероятностей сходится. А это выполнено тогда и только тогда, когда матожидание логарифма существует.

Э.. я как раз не могу понять про "тогда и только тогда". В первом сообщении я ипользовал лишь неравенство, что $\Pr(\limsup_n|\xi_n|^{1/n}>c)\ge\Pr(|\xi_n|^{1/n}>c\;\;\text{i.o.})$, которое получается из включения $\limsup_n\{|\xi_n|^{1/n}>c\}\subset\{\limsup_n|\xi_n|^{1/n}>c\}$. Соответственно, если $\Pr(|\xi_n|^{1/n}>c\;\;\text{i.o.})=1$, то и $\Pr(\limsup_n|\xi_n|^{1/n}>c)=1$. Но если $\Pr(|\xi_n|^{1/n}>c\;\;\text{i.o.})=0$ то из того, что я написал, не следует, что $\Pr(\limsup_n|\xi_n|^{1/n}>c)=0$. Вот как раз этот переход я никак не могу понять. Буду признателен помощи. Спасибо.