[Статистика] Матрицы

[vlad_light]

Вступление

(Оффтоп)

Обозначения

$$\mathbf\alpha = (\mu ,\sigma ^2)^T\in \mathbb R^2, \mathbf\beta = (\beta _0, \beta _1, ...,\beta _n)^T\in\mathbb R^{n+1} ,\mathbf\theta = (\alpha ,\beta )^T\in \mathbb R^{n+3}$$

$$\mathbf\zeta =(\zeta _0(\xi ),\zeta _1(\xi ),...,\zeta _n (\xi ))^T, \quad (\xi, \varepsilon, \delta )^T\sim N(\mathbf M, \mathbf \Sigma ), \mathbf\Sigma = \operatorname{diag}(\sigma _{ii}|i=\overline {1,3})$$

Основная модель

$$y=\mathbf\beta ^T\mathbf\zeta +\varepsilon ,\quad x=\xi + \delta$$

Параметры модели

$$m(x;\theta )=\mathbb E(y|x), \quad v(x ;\theta )=\mathbb V(y|x), \quad \rho (x ;\alpha )=\frac {1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\exp (-\frac 12\frac {(x-\mu )^2}{\sigma ^2})$$

Оценка параметров

$$S_L =(\frac {y-m}{v}\frac {dm}{d\beta }, \frac {d\rho}{d\alpha})^T, \quad S_Q=(\frac {y-m}{v}\frac {dm}{d\beta }, \frac {y-m}{v}\frac {dm}{d\alpha }+\frac {d\rho}{d\alpha})^T$$

В статье http://www.mechmat.univ.kiev.ua/eng/ppages/kukush/Public/files/qs_nuisance_jspi_3.pdf рассматривается сравнение оценок $S_L$ и $S_Q$. На 16 стр.:
Пусть

$$\frac {dm}{d\alpha }=A\frac {dm}{d\beta },\eqno (1)$$

где $A$ - некоторая матрица, которая зависит от $\theta $. Тогда

$$S_Q =\begin{pmatrix}I & 0\\ A & I \end{pmatrix}S_L\eqno (2)$$

Я искал матрицу $A$ следующим образом:

$$m=\beta ^T \mathbb E(\zeta |x), \frac{dm}{d\beta }=\mathbb E(\zeta |x)$$

Тогда

$$\frac {d}{d\alpha }[\beta ^T \mathbb E(\zeta |x)]=[\beta \,(\frac {d}{d\alpha })^T]^T\mathbb E(\zeta |x)=A\mathbb E(\zeta |x)$$

Следовательно

$$A=[\beta \,(\frac {d}{d\alpha })^T]^T\eqno (3)$$

Но эта матрица не будет удовлетворять уравнение $(2)$. Возникает вопрос:

Цитата:

Можно ли доказать существование таких векторов $\mathbf x$, что

$$\hat A \mathbf x=A\mathbf x,$$

где $\hat A$ - матрица в равенстве $(3)$, а $A$ -- произвольная матрица с постоянными коэффициентами, зависящими от $\theta $?

[vlad_light]

Рассмотрим однопараметрическую модель ($\beta = (\beta )\in \mathbb R^1, \zeta (\xi )=(\zeta (\xi ))\in \mathbb R^1 $) с $n$-параметрическим распределением ($\alpha = (\alpha _1, \alpha _2,...,\alpha _n)^T\in \mathbb R^n$).

$$\beta \frac {d}{d\alpha _i}\mathbb E(\zeta |x)=a_{i1}(\alpha ,\beta )\mathbb E(\zeta |x),\quad i=\overline {1,n} $$

$$\mathbb E(\zeta |x)=\exp (\frac 1\beta \int a_{i1}(\alpha ,\beta )d\alpha _i )g(x,\beta ),\quad i=\overline {1,n} $$

Следовательно, для всех $\zeta$, матожидание которых имеет вид: $\mathbb E(\zeta |x)=\exp (\frac 1\beta f(\alpha ,\beta ))g(x,\beta )$, матрица $A=\nabla _\alpha f(\alpha ,\beta )$.
Далее рассмотрим двухпараметрическую модель ($\beta =(\beta _1 ,\beta _2)^T\in \mathbb R^2, \zeta (\xi )=(\zeta _1(\xi ), \zeta _2 (\xi ))^T\in \mathbb R^2$) с однопараметрическим распределением $\alpha = (\alpha )\in\mathbb R^1$.

$$\beta _1 \frac {d}{d\alpha }\mathbb E(\zeta _1 |x)+\beta _2 \frac {d}{d\alpha }\mathbb E(\zeta _2 |x)=a_{11}(\alpha ,\beta )\mathbb E(\zeta _1 |x)+a_{12}(\alpha ,\beta )\mathbb E(\zeta _2 |x)$$

В этом уравнении уже 2 неизвестных: $\mathbb E(\zeta _1 |x)$ и $\mathbb E(\zeta _2 |x)$. Его можно переписать в виде:

$$[c, \dot x (t)]=[a(t), x(t)],\eqno (4)$$

где $c=\operatorname{const}\in \mathbb R^2, a(t)=(a_1 (t),a_2 (t))^T, x(t)=(x_1 (t), x_2 (t))^T$ и $[\cdot ,\cdot ]$ - скалярное произведение.
Подскажите, пожалуйста, как решить уравнение (4) относительно $x(t)$?