Задача по СТО

[Munin]

HukumuH в сообщении #790973 писал(а):

Это приводит к путанице с единицами измерения. Стоит ли запоминать такой подход?

Путаницы нет. Просто вы "переселяетесь" в другой мир, геометрический, с другой системой размерностей.

Раньше было:
длина - $\mathrm{L}$
время - $\mathrm{T}$
скорость - $\mathrm{LT^{-1}}$
ускорение - $\mathrm{LT^{-2}}$
геометрический угол - $\mathrm{L^0=1}$
геометрическая кривизна линии - $\mathrm{L^{-1}}$ (кривизна - это $1/R,$ где $R$ - радиус кривизны)

Теперь стало:
длина - $\mathrm{L}$
время - $\mathrm{L}$
скорость - $\mathrm{LL^{-1}=L^0=1}$
ускорение - $\mathrm{LL^{-2}=L^{-1}}$
геометрический угол - $\mathrm{L^0=1}$
геометрическая кривизна линии - $\mathrm{L^{-1}}$
и видно, что геометрически длина и время - это длины в пространстве-времени; скорость - это угол в пространстве-времени - безразмерная величина; а ускорение - это, по сути, кривизна мировой линии в пространстве-времени, и поэтому имеет размерность обратной длины, как кривизне и положено.

Но если у нас появилась величина в размерности $\mathrm{L}^{n},$ как с ней быть? Она соответствует целому набору "старых" размерностей: $\mathrm{L}^{n},$ $c\mathrm{L}^{n}=\mathrm{L}^{n+1}\mathrm{T}^{-1},$ $c^2\mathrm{L}^{n}=\mathrm{L}^{n+2}\mathrm{T}^{-2},$ $c^{-1}\mathrm{L}^{n}=\mathrm{L}^{n-1}\mathrm{T}^{1},$ $c^{-2}\mathrm{L}^{n}=\mathrm{L}^{n-2}\mathrm{T}^{2},$ и вообще $c^{k}\mathrm{L}^{n}=\mathrm{L}^{n+k}\mathrm{T}^{-k}$ для любых $k=\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots$ Но какой именно? А тут надо решать, глядя на физический смысл той величины, которую мы вычисляли. Никаких проблем в этом нет: "старые" размерности тоже сообщали не всю информацию о величине, и надо было отдельно решать, то ли это длина, то ли расстояние, то ли пройденный путь, и т. п. Зато теперь эта размерность сообщает нам о том, что у нашей величины есть несколько "родственников", отличающихся от неё всего лишь по тому, как они ориентированы в пространстве и во времени.

Теперь посмотрим на размерности динамических величин. Раньше у нас было:
масса - $\mathrm{M}$
импульс - $\mathrm{LMT^{-1}}$
энергия - $\mathrm{L^2MT^{-2}}$
сила - $\mathrm{LMT^{-2}}$
мощность - $\mathrm{L^2MT^{-3}}$
плотность массы - $\mathrm{L^{-3}M}$
плотность импульса, поток массы - $\mathrm{L^{-2}MT^{-1}}$
давление (поверхностная плотность силы), плотность энергии, поток импульса - $\mathrm{L^{-1}MT^{-2}}$
поток энергии - $\mathrm{MT^{-3}}$

Теперь стало:
масса - $\mathrm{M}$
импульс - $\mathrm{M}$
энергия - $\mathrm{M}$
сила - $\mathrm{L^{-1}M}$
мощность - $\mathrm{L^{-1}M}$
плотность массы - $\mathrm{L^{-3}M}$
плотность импульса, поток массы - $\mathrm{L^{-3}M}$
давление (поверхностная плотность силы), плотность энергии, поток импульса - $\mathrm{L^{-3}M}$
поток энергии - $\mathrm{L^{-3}M}$
и снова у нас величины, родственные в пространственно-временном смысле, оказываются одинаковой размерности.

Есть один 4-вектор в пространстве-времени, и это 4-вектор энергии-импульса. Совершенно логично, что его компоненты имеют одинаковые размерности, и совпадают по размерности с длиной, хотя называются они (по старой традиции) импульсом и энергией, а его длина - массой.

Все плотности и потоки в пространстве-времени совпадают по размерности, потому что плотность - это геометрический поток через площадку, ориентированную поперёк оси времени, а поток - это такой же геометрический поток через площадку, ориентированную вдоль оси времени (то есть, сколько-то величины, прошедшей через заданную площадку за единицу времени). От ориентации площадки, по геометрическому смыслу, не должна меняться размерность - вот она и не меняется. Более того, теперь совершенно естественно рассматривать площадки, ориентированные как угодно, под любыми углами, и всё это будет давать совершенно осмысленные величины очевидных размерностей. В "старых" размерностях для таких величин даже придумать размерность было бы сложно.