2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дисперсия сложной оценки.
Сообщение13.11.2013, 18:31 
Аватара пользователя


15/11/08
502
London, ON
Здраствуйте,
мне нужно высчитать дисперсию такой вот оценки:

$\Delta_{ITT}=\ln(\frac{\sum_{i\in T}{I\{Y_i=1\}+wI\{Y_i=w\}}}{\sum_{i\in T}{I\{Y_i=0\}+(1-w)I\{Y_i=w\}}})-\ln(\frac{\sum_{i\in C}{I\{Y_i=1\}+wI\{Y_i=w\}}}{\sum_{i\in C}{I\{Y_i=0\}+(1-w)I\{Y_i=w\}}})$

$C$ - группа получившая плацебо, $T$ - группа получившая лекарство. Они независимы, поэтому:

$Var(\Delta_{ITT})=Var(\ln(\frac{\sum_{i\in T}{I\{Y_i=1\}+wI\{Y_i=w\}}}{\sum_{i\in T}{I\{Y_i=0\}+(1-w)I\{Y_i=w\}}}))+Var(\ln(\frac{\sum_{i\in C}{I\{Y_i=1\}+wI\{Y_i=w\}}}{\sum_{i\in C}{I\{Y_i=0\}+(1-w)I\{Y_i=w\}}}))$

Я не понимаю как тут дальше быть. :| Метод дельта не вариант. Может быть по формуле $Var(X)=\mathbb E(X^2)-\mathbb E(X)^2$ ?
Направьте на путь истины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия сложной оценки.
Сообщение15.11.2013, 00:12 
Аватара пользователя


15/11/08
502
London, ON
Я плюнул на попытки высчитать точное значение, и решил воспользоваться Дельта-методом. У меня есть две группы $T$ и $C$, допустим я знаю вероятности каждого исхода для каждой группы, а то есть $P(Y^T=1),P(Y^T=w),P(Y^C=1)P(Y^C=w)$.
Теперь, сосредоточимся на $Var(\ln(\frac{\sum_{i\in T}{I\{Y_i=1\}+wI\{Y_i=w\}}}{\sum_{i\in T}{I\{Y_i=0\}+(1-w)I\{Y_i=w\}}}))$.
По Дельта-методу:
$Var(g(x)) \approx (g'(x))^2Var(x)$
$n_T$- количество людей в группе $T$
$(g'(x))^2$ - посчитать не проблема, поскольку в этом случае $x=\frac{1}{n_T}\sum_{i\in T}\left[I\{Y_i=1\}+wI\{Y_i=w\}\right]$, а $g(x)=\ln{\frac{x}{1-x}}$.
Осталось посчитать лишь $Var(x)$ по формуле: $Var(x)=\mathbb E(x^2)-\mathbb E(x)^2$

$\mathbb E(x)=P(Y^T=1)+wP(Y^T=w)$

Что же насчет $\mathbb E(x^2)$ ?

$\mathbb E(x^2)=\frac{1}{n^2_T}\left[\mathbb E \left[ (\sum_{i\in T}I\{Y_i=1\})^2\right]+w^2\mathbb E\left[ (\sum_{i\in T}I\{Y_i=w\})^2\right]+$
$+2w\mathbb E \left[\sum_{i\in T}I\{Y_i=1\}\sum_{i\in T}I\{Y_i=w\}\right]\right]$

Первые две части можно решить, связав их с биномиальным распределением (мне так кажется), но как вычислить подледнюю часть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия сложной оценки.
Сообщение15.11.2013, 05:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Выразив одну сумму через другую. Они друг друга дополняют до $|T|$ вроде как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия сложной оценки.
Сообщение15.11.2013, 05:57 
Аватара пользователя


15/11/08
502
London, ON
Увы, но нет. Есть же ещё $\sum_{i\in T}I\{Y_i=0\}$

Я думаю, что можно через ковариацию, но пока не вижу как.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия сложной оценки.
Сообщение15.11.2013, 21:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Ну, перемножьте тупо суммы. Произведение индикаторов с одинаковыми игреками нулевое. С разными, наверное, независимы. Матожидание суммы - сумма матожиданий. Ещё проще заменить матожидание "суммы сумм" на $|T|$ матожиданий первого слагаемого первой суммы умножить на вторую:
$$\mathbb E \left[\sum_{i\in T}I\{Y_i=1\}\sum_{i\in T}I\{Y_i=w\}\right]=|T|\,\mathbb E\left( I\{Y_1=1\}\sum_{i\in T}I\{Y_i=w\} \right)=$$ 
$$=|T|\,\mathbb E\left( I\{Y_1=1\}\sum_{i\in T,\, i\neq 1}I\{Y_i=w\}\right)=\ldots$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия сложной оценки.
Сообщение16.11.2013, 00:42 
Аватара пользователя


15/11/08
502
London, ON
То есть в конце получится:

$\mathbb E \left[\sum_{i\in T}I\{Y_i=1\}\sum_{i\in T}I\{Y_i=w\}\right]=\mathbb E \left[\sum_{j\in T}\left[I\{Y_j=1\}\sum_{i\ne j\in T}I\{Y_i=w\}\right]\right]=...=n_T(n_T-1)P(Y^T=1)P(Y^T=w)$

Проверьте, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия сложной оценки.
Сообщение16.11.2013, 03:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Ну да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия сложной оценки.
Сообщение16.11.2013, 11:50 
Аватара пользователя


15/11/08
502
London, ON
Спасибо вам за помощь. :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group