2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение12.01.2014, 15:48 
Заслуженный участник


02/08/11
6867

(Оффтоп)

Можно с сожалением констатировать, что люди в мире в очередной раз поделились на 2 категории: на тех, кто не решал упражнение 1, и на тех, кто не решил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение06.08.2014, 17:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
Любопытный момент. Без использования всех этих "ковариантных заморочек", то бишь тау и гаммы, все основные соотношения выводятся в разы быстрее. Тупо в компонентах. Но нет, мне захотелось сынвариантничать. В результате выдохся раньше времени и перегорел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение06.08.2014, 19:01 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
Утундрий в сообщении #893716 писал(а):
Любопытный момент. Без использования всех этих "ковариантных заморочек", то бишь тау и гаммы, все основные соотношения выводятся в разы быстрее. Тупо в компонентах. Но нет, мне захотелось сынвариантничать. В результате выдохся раньше времени и перегорел.

Поясните, что выводятся быстрее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение06.08.2014, 19:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
Не знаю, что пояснять. Это наблюдение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение07.08.2014, 10:51 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
Утундрий в сообщении #893760 писал(а):
Не знаю, что пояснять. Это наблюдение.

Тогда общими словами: зачем Зельманову и другим физикам потребовалось создавать такой формализм в рамках ОТО?
Может с этого надо было начать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение07.08.2014, 19:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
Ну, хочется иногда взять что-нибудь и расщепить. Уравнения становятся хоть и длиннее, зато интуитивно понятнее. Появляется всякий там "физический смысл членов уравнения" и всё такое...

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение07.08.2014, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Утундрий в сообщении #894049 писал(а):
Появляется всякий там "физический смысл членов уравнения"...

иногда надуманный...

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение07.08.2014, 23:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
Ещё приятно, что всё в итоге выражается через наблюдаемые величины. То есть, считаем некие хиварианты и сразу видим с какою силою нашего покоящегося наблюдателя будет плющить $\bar f_i  \equiv  - \frac{1}{h}\left( {h_{,i}  + a_{i,0} } \right)$ и колбасить $\bar \omega _{ik}  \equiv \frac{1}{2}\left( {a_{k,i}  - a_{i,k}  + \bar f_i a_k  - \bar f_k a_i } \right)$.

P.S. Это, кстати, ответ на задачку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение08.08.2014, 10:16 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
Утундрий в сообщении #894049 писал(а):
Ну, хочется иногда взять что-нибудь и расщепить.

Мне кажется дело не только в этом. Им хотелось ввести некие величины, которые были бы инвариантны и которые можно было бы считать "физическими", а общая коваринатность выбивала твердую почву под ногами. В конце концов как-то надо проверять теорию, то есть за что-то зацепиться. Разбиение 3+1 хотя и нековариантно, но дает сразу понятие время, и условия Гильберта, которые он назвал принципом причинности, здесь по-видимому обязательны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение23.08.2014, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
Нашёл хивариантам занятное применение...

Рассмотрим двумерное пространство Минковского
$$ds^2  = d\bar t^2  - d\bar x^2 \eqno (1)$$
и перейдём в нём к риндлеровым координатам
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\bar t = \xi \operatorname{sh} \tau }  \\   {\bar x = \xi \operatorname{ch} \tau }  \\
 \end{array} } \right.$$
в которых интервал принимает вид
$$ds^2  = \xi ^2 d\tau ^2  - d\xi ^2 \eqno (2)$$
Я не буду говорить много слов об этих хорошо известных координатах. Желающие подробностей и картинок, могут сходить сюда.

Так вот. Цель у меня будет такая: имея перед собой только $(2)$ проломиться сквозь горизонт $\xi  = 0$ до состояния $(1)$, причём не абы как, а действуя рутинно и однообразно и никаких замен с потолка не угадывая. А помогут мне в этом следующие величины:

$$\begin{gathered}
  h \equiv \sqrt {g_{00} }  \hfill \\
  a_i  \equiv  - h^{ - 1} g_{0i}  \hfill \\
  \bar g_{ik}  \equiv  - g_{ik}  + a_i a_k  \hfill \\
  \bar f_i  \equiv  - h^{ - 1} \left( {h_{,i}  + a_{i,0} } \right) \hfill \\
  \bar \omega _{ik}  \equiv \frac{1}
{2}\left( {a_{k,i}  - a_{i,k}  + \bar f_i a_k  - \bar f_k a_i } \right) \hfill \\
  \bar D_{ik}  \equiv \frac{1}
{2}h^{ - 1} g_{ik,0}  \hfill \\ 
\end{gathered}\eqno (3)$$

Посчитав их для $(2)$, обнаружим, что на горизонте имеются проблемы: $h = \xi ,\quad \bar f_1  =  - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 \xi }} \right. \kern-\nulldelimiterspace} \xi }.$ Это значит, что систему тел отсчёта надобно менять. Для этого совершим простейшее НЕхронометрическое преобразование
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\tau  = t}  \\   {\xi  = \xi \left( {t,x} \right)}  \\ \end{array} } \right.$$
что даст нам следующий интервал
$$ds^2  = \left( {\xi ^2  - \xi _{,t}^2 } \right)dt^2  - \xi _{,t} \xi _{,x} 2dtdx - \xi _{,x}^2 dx^2 $$
Снова вычислим $(3)$. Особого внимания из них требуют следующие
$$\[
\begin{gathered}
  h = \sqrt {\xi ^2  - \xi _{,t}^2 }  \hfill \\
  \bar f_1  =  - \frac{{\xi \xi _{,x} \left[ { - 2\xi _{,t}^2  + \xi \left( {\xi  + \xi _{,tt} } \right)} \right]}}
{{\left( {\xi ^2  - \xi _{,t}^2 } \right)^2 }} \hfill \\
  \bar g_{11}  = \frac{{\xi ^2 \xi _{,x}^2 }}
{{\xi ^2  - \xi _{,t}^2 }} \hfill \\
  \bar D_{11}  = \frac{{\xi \xi _{,x} \left[ {\xi \left( {\xi ^2  - \xi _{,t}^2 } \right)\xi _{,tx}  + \xi _{,x} \left( { - \xi _{,t}^3  + \xi \xi _{,t} \xi _{,tt} } \right)} \right]}}
{{\left( {\xi ^2  - \xi _{,t}^2 } \right)^{{5 \mathord{\left/
 {\vphantom {5 2}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} 2}} }} \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
$$
Первым делом избавимся от силы инерции, положив
$$ - 2\xi _{,t}^2  + \xi \left( {\xi  + \xi _{,tt} } \right) = 0$$
Интегрируя разок, получим
$$ \pm \xi _{,t}  = \xi \sqrt {1 + C\left( x \right)\xi ^2 } $$
откуда сразу же следует выражение $h^2  =  - C\left( x \right)\xi ^4 $, показывающее, что $C$ должно быть отрицательно. Поэтому положим $C\left( x \right) \equiv  - u\left( x \right)^2 $, где $u$ не обращается в нуль.

Интегрируя далее, находим
$$ \pm t = \tilde v\left( x \right) + \int\limits_{}^\xi  {\frac{{d\xi }}{{\xi \sqrt {1 - u\left( x \right)^2 \xi ^2 } }}} $$
Интеграл легко берётся
$$\frac{\xi }{{1 + \sqrt {1 - u\left( x \right)^2 \xi ^2 } }} = e^{ \pm t - \tilde v\left( x \right)}  \equiv v\left( x \right)^2 e^{ \pm t} $$
где $v$ - ещё одна некоторая не обращающаяся в нуль функция.

Разрешая относительно $\xi $, находим
$$\xi  = \frac{2}{{v\left( x \right)^{ - 2} e^{ \mp t}  + v\left( x \right)^2 u\left( x \right)^2 e^{ \pm t} }}$$
Этому выражению можно придать более симпатичный вид
$$\xi  = \frac{1}{{a\left( x \right)^2 e^{ - t}  + b\left( x \right)^2 e^t }}\eqno (4)$$
гже $a$ и $b$ уже традиционно некоторые и не обращающиеся в нуль функции.

Снва посчитав $(3)$, убеждаемся, что $\bar f_1 $, как ему и полагается, обнулился, а остальные потенциально проблемные величины приняли вид
$$\[
\begin{gathered}
  h = \frac{{2ab}}
{{\left( {a^2 e^{ - t}  + b^2 e^t } \right)^2 }} \hfill \\
  \bar g_{11}  = \frac{{\left( {aa'e^{ - t}  + bb'e^t } \right)^2 }}
{{a^2 b^2 \left( {a^2 e^{ - t}  + b^2 e^t } \right)^2 }} \hfill \\
  \bar D_{11}  = \frac{{\left( {ab' - ba'} \right)\left( {aa'e^{ - t}  + bb'e^t } \right)}}
{{a^2 b^2 \left( {a^2 e^{ - t}  + b^2 e^t } \right)}} \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
$$
Мы видим, что дальнейшее упрощение возможно за счёт изничтожения нестационарности пространственной метрики. Для чего достаточно положить $a=b$. Что даст следующий вид искомой нами функции перехода
$$\xi  = \frac{{u\left( x \right)^2 }}{{e^{ - t}  + e^t }}$$
В этом месте у меня кончились буквы, поэтому давайте сделаем вид, что функция $u$ появляется здесь впервые (свойства её можно брать старые).

После такой замены интервал примет вид
$$ds^2  = \left( {\frac{{u^2 }}{{2\operatorname{ch} ^2 t}}dt + uu'\operatorname{th} t \cdot dx} \right)^2  - \left( {uu'} \right)^2 dx^2 $$

Дальше напрашивается $\bar g_{11}  = \left( {uu'} \right)^2  = 1$, для чего положим $u\left( x \right) \equiv \sqrt {2x} $ и окончательно получим
$$\[
\begin{gathered}
  \xi  = \frac{{2x}}
{{e^{ - t}  + e^t }} \hfill \\
  ds^2  = \left( {\frac{x}
{{\operatorname{ch} ^2 t}}dt + \operatorname{th} t \cdot dx} \right)^2  - dx^2  \hfill \\ 
\end{gathered} \eqno (5)
\]
$$
Выглядит страшновато? :D Однако, те из величин $(3)$, которые имеют физический смысл, ведут себя просто прекрасно! Но, чтобы это увидеть, нужно совершить на этот раз хронометрическое преобразование, не меняющее хивариантов (а чего их менять, коль они и так замечательные?)

Итак, выполним хронометрическое преобразование
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {t = t\left( {\tilde t,\tilde x} \right)}  \\  {x = \tilde x}  \\ \end{array} } \right.$$
после которого интервал $(5)$ примет угадайте что? Правильно, вид:
$$ds^2  = \left( {\left( {\tilde x\operatorname{th} t} \right)_{,\tilde t} d\tilde t + \left( {\tilde x\operatorname{th} t} \right)_{,\tilde x} d\tilde x} \right)^2  - d\tilde x^2 $$
Осталось потребовать
$$\left| {\begin{array}{*{20}c}  {\left( {\tilde x\operatorname{th} t} \right)_{,\tilde t}  = 1}  \\   {\left( {\tilde x\operatorname{th} t} \right)_{,\tilde x}  = 0}  \\ \end{array} } \right.$$
и мы получим
$$\begin{gathered}  \operatorname{th} t = \frac{{\tilde t + \operatorname{const} }}{\tilde x} \hfill \\  ds^2  = d\tilde t^2  - d\tilde x^2  \hfill \\ \end{gathered} $$
Вуаля.

P.S. Для Шварцшильда такой подход тоже работает. Когда-нибудь наберусь духу и попробую провернуть для Керра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение25.08.2014, 11:06 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
Утундрий в сообщении #898846 писал(а):
Цель у меня будет такая: имея перед собой только $(2)$ проломиться сквозь горизонт $\xi  = 0$ до состояния $(1)$,

Координаты Риндлера хорошо известны, но почему-то все забывают о том, что они состоятельны только в области , которая вырезает 1/4 Минковского. А преобразования к метрике (2), которые Вы не обозначили, вырождаются на "горизонте". Отсюда хотелось бы понять, в какой области работают координаты в самой последней метрики, которая по виду - про-во Минковского. Если всюду, как и должно быть, то я предположу, что Вы где-то совершили запрещенные преобразования координат, но поскольку буковки кончились, проверить это сможет лишь автор.
Когда будете работать со Шварцшильдом, хотелось бы , чтобы Вы более аккуратно освещали этот вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение26.08.2014, 23:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
schekn в сообщении #899642 писал(а):
Вы где-то совершили запрещенные преобразования координат

В самом начале, когда к Риндлеру переходил.

Со Шварцшильдом даже несколько проще - там метрика существует по обе стороны от горизонта. Поэтому возникающие уравнения (а они несколько сложнее чем в рассмотренном случае) не обязательно решать во всей области, а только в окрестности горизонта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение16.03.2015, 20:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
Тем, кто помнит об этой теме: анонсирую следующую итерацию. Оно ведь как получилось - запнулся, отвлёкся, забылся... А на днях вернулся и внезапно скрестил ежа координатного и ужа ковариантного подходов. Одним словом - попёрло. К выходным, глядишь, чего-нибудь выродится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group