2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение20.11.2013, 11:06 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Утундрий в сообщении #786814 писал(а):
Но, вдруг кого заинтересует?
Из аналогичных побуждений, мол вдруг кого заинтересует, напишу свою каляку про вышеозначенную монаду $\tau$.

Больше интересна ковариантная $\tau_{\mu}$ версия чем контравариантная $\tau^{\mu}$. Дело в следующем. Физический смысл дифференциальной формы $\tau = \tau_{\mu} dx^{\mu}$ - бесконечно малое приращение времени (умноженной на $c$) этой системы отсчёта при бесконечно малых вариациях координат $dx^{\mu}$. Ежёли вдруг дифференциальная форма $\tau = \tau_{\mu} dx^{\mu}$ голономна, то часы в этой системе отсчёта можно синхронизировать вдоль любого замкнутого контура:
$$
\oint \tau = 0, \quad d\tau = 0, \eqno(1)
$$
а так же существует функция времени $t(x^0, x^1, x^2, x^3)$ такая что
$$
\tau = \frac{\partial c t}{\partial x^{\mu}} dx^{\mu} \eqno(2)
$$
$$
g^{\mu \nu} \tau_{\mu} \tau_{\nu} = 1 \quad \to \quad 
g^{\mu \nu} \frac{\partial c t}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial c t}{\partial x^{\mu}} = 1 \eqno(3)
$$
Функция времени $t(x^{\mu})$ такой вот интересной системы отсчёта удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби (3). Уравнения $t(x^{\mu}) = \operatorname{const}$ задают гиперповерхности постоянного времени этой системы отсчёта. Поскольку свободные частицы тоже движутся согласно уравнению Гамильтона-Якоби, то для этой интересной системы отсчёта выполняется первый закон Ньютона обобщённый на случай искривлённого пространства: в этой системе отсчёта тела покоящиеся в начальный момент времени продолжают оставаться в состоянии покоя бесконечно долго если на них не действуют внешние силы. В оригинале у Ньютона была ещё присказка про равномерное прямолинейное движение, но в случае искривлённого пространства эти слова не имеет смысла. Короче, система отсчёта у которой диференциальная форма $\tau = \tau_{\mu} dx^{\mu}$ голономна является обобщением ньютоновского понятия инерциальной системы отсчёта на случай искривлённого пространства на столько на сколько это вообще имеет смысл (с отбрасыванием слов про равномерное прямолинейное).

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение20.11.2013, 19:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
SergeyGubanov в сообщении #790664 писал(а):
напишу свою каляку

В отдельной теме, пожалуйста. Или подождите пока я закончу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение20.11.2013, 20:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Утундрий
А шо, аргументированно возразить слабо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение20.11.2013, 20:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517

(Оффтоп)

Munin в сообщении #790825 писал(а):
аргументированно возразить слабо?

А у меня нет возражений. Действительно, можно делать и так и эдак или вообще никак не делать, мотивируя тем, что всё равно ведь любое уравнение сводится к $\text{что-то-там}=0$ и нечего этого что-то-тама расписывать. Но я выбираю делать именно так, потому что считаю, что так будет и проще и быстрее. К сожалению, отпуск кончился и появляться я теперь буду несколько более эпизодически.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение21.11.2013, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Утундрий
Спасибо.

Утундрий в сообщении #790829 писал(а):
К сожалению, отпуск кончился

Жаль. Надо было бы вам оперативней тему писать, с учётом момента окончания отпуска.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение24.11.2013, 11:06 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
Тема почему-то заглохла. Мне кажется пока не сказано главное. Зельманов-Агаков разбили все допустимые координатные преобразования на 2 класса.

A1: $ x'^k=f'^k(x^k),\quad x'^0=f'^0(x^0,x^k)$
и
A2: $ x'^0={\varphi}'^k(x^0,x^k),\quad x'^0=x^0$

$x^0, x'^0$ это условно можно назвать "временем", а остальные координаты пространственные.

Метрику пространства-времени (1) в стартовом сообщении, можно представить тогда в таком виде:

$ds^2=c^2d{\tau}^2-dl^2$

Где ${d\tau}$ и $dl^2$ - инвариантные величины относительно преобразований класса А1. Это можно показать. Их в книге называют хромоинвариантами. Иногда можно встретить в литературе, что их называют физические время и длина. Соответственно отношение $dl/d{\tau}$ - физической скоростью. Нетрудно увидеть, что первое выражение в группе А1 - это изменение чисто пространственных координат. Их Зельманов называет переходом в другую систему координат, соответственно, все остальные , когда координатная сетка нестационарна, - это переход в другую систему отсчета.

Данное разбиение разумеется, не соответствует определению перехода в другую СО по Иваненко или по Родичеву.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение24.11.2013, 13:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
schekn в сообщении #791986 писал(а):
Тема почему-то заглохла

Утундрий в сообщении #786814 писал(а):
неторопливый процесс сей

schekn в сообщении #791986 писал(а):
Мне кажется пока не сказано главное

Ещё даже не все определения даны :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение24.11.2013, 14:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
(* часть вторая, начало здесь *)

Рассмотрим уравнение $v^\mu   = 0$. Из $(8)$ следует эквивалентность
$$v^\mu   = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {v^*  = 0}  \\   {v^{\bar \mu }  = 0}  \\ \end{array} } \right.$$
(благодаря тождеству $\gamma _\sigma ^\mu  v^{\bar \sigma }  = 0$ у ${v^{\bar \mu } }$ только три независимые компоненты, так что с числом уравнений тут всё в порядке). Отыщем минимальный набор условий, обеспечивающих данное равенство. Для этого запишем в сопутствующих координатах все мыслимые компоненты $v^\mu  $:
$$\[
\begin{gathered}
  v^*  \sim hv^0  - a_i v^i  \hfill \\
  v^{\bar 0}  \sim h^{ - 1} a_i v^i  \hfill \\
  v^{\bar i}  \sim v^i  \hfill \\
  v_*  \sim h^{ - 1} v_0  \hfill \\
  v_{\bar 0}  \sim 0 \hfill \\
  v_{\bar i}  \sim h^{ - 1} a_i v_0  + v_i  \hfill \\ 
\end{gathered} \eqno (9)
\] $$
Заметим теперь, что равенство нулю $ v_0 $ и $v^i $ влечёт за собой обнуление всех компонент $(9)$. Таким образом, цитированные компоненты могут быть выбраны в качестве "полномочных представителей" векторного уравнения $v^\mu   = 0$:
$$v^\mu   = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   { v_0  = 0}  \\   {v^i  = 0}  \\ \end{array} } \right. \eqno (10)$$

Исследуем вопрос об однозначности определения сопутствующих координат. Рассмотрим произвольную допустимую (т.е. с ненулевым якобианом) замену координат $x^{\mu '}  = x^{\mu '} \left( {x^\mu  } \right)$ и потребуем, чтобы из \tau ^i  \sim 0 следовало \tau ^{i'}  \sim '0, что приводит к условию $x_{,0}^{i'}  = 0$. Таким образом, переход к другим сопутствующим координатам (сопутствующим той же системе тел отсчёта) осуществляется при помощи следующих формул:
$$\left\{ \begin{gathered}  x^{0'}  = x^{0'} \left( {x^0 ,x^i } \right) \hfill \\  x^{i'}  = x^{i'} \left( {x^i } \right) \hfill \\ \end{gathered}  \right. \eqno (11)$$
Преобразования $(11)$ образуют группу - подгруппу группы всех допустимых преобразований. Удобно представить $(11)$ в виде произведения следующих двух подгрупп
$$\left\{ \begin{gathered}  x^{0'}  = x^{0'} \left( {x^0 ,x^i } \right) \hfill \\  x^{i'}  = x^i  \hfill \\ \end{gathered}  \right. \eqno (12a)$$$$\left\{ \begin{gathered}  x^{0'}  = x^0  \hfill \\  x^{i'}  = x^{i'} \left( {x^i } \right) \hfill \\ \end{gathered}  \right. \eqno (12b)$$
и в дальнейшем рассматривать действие $(12a)$ и $(12b)$ на геометрических объектах раздельно. Первым делом посмотрим, как преобразуются величины $(0)$
$$\begin{array}{*{20}c}   {(12a):} & \begin{gathered}  h = x_{,0}^{0'} h' \hfill \\  a_i  = a_{i'}  - x_{,i}^{0'} h' \hfill \\  \bar g_{ik}  = \bar g_{i'k'}  \hfill \\ \end{gathered}   \\ \end{array} \eqno (13)$$
$$\begin{array}{*{20}c}   {(12b):} & \begin{gathered}  h = h' \hfill \\  a_i  = x_{,i}^{i'} a_{i'}  \hfill \\  \bar g_{ik}  = x_{,i}^{i'} x_{,k}^{k'} \bar g_{i'k'}  \hfill \\ 
\end{gathered}   \\ \end{array} \eqno (14)$$
Геометрический смысл $(12)$ достаточно прозрачен. Преобразование $(12b)$ представляет собой простую перенумерацию мировых линий покоящихся наблюдателей. Из $(14)$ мы видим, что величины $(0)$ ведут себя при этом простым 3-тензорным способом - как скаляр, вектор и тензор соответственно. Преобразование $(12a)$ несколько интереснее - оно осуществляет репараметризацию "временной" координаты $x^0$ вдоль каждой мировой линии покоящегося наблюдателя. С помощью $(12a)$ любую гиперповерхность, пересекающую каждую мировую линию ровно по одному разу, можно привести к виду $x^0 = 0$.

У $(12a)$ имеется специальное название - хронометрические преобразования. Величины, форминвариантные относительно $(12a)$ называются хронометрическими инвариантами или коротко хивариантами. Из сказанного ясно, что вид хиварианта не зависит от выбора секущей гиперповерхности. Среди величин $(0)$ свойством хивариантности обладает одна $\bar g_{ik} $, поэтому она авансом и была отмечена чертой над символом. В дальнейшем, все хиварианты также будут отмечаться чертой над символом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение24.11.2013, 21:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
Вернёмся к $(1)$ и выясним, в каких случаях выражение $hdx^0  - a_i dx^i $ будет полным дифференциалом некоторой функции $t\left( {x^0 ,x^i } \right)$. Приравнивая смешанные частные производные, получаем следующий критерий
$$\left\{ \begin{gathered}  h_{,i}  + a_{i,0}  = 0 \hfill \\  a_{i,k}  - a_{k,i}  = 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \eqno (15)$$
Отметим, что уравнения (не сами левые части!) $(15)$ хивариантны.

Упражнение 1 Пользуясь $(12a)$ сконструировать из левых частей $(15)$ хивариантные величины.

(* Продолжение, ближе к выходным, следует *)

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение20.12.2013, 00:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
К слову, мне будет отрадно узреть какое-то решение упражнения 1.

Касательно же грядущего, учитывая недавнее недоумение schekn по поводу дефиниции наблюдаемых теории, мне хотелось бы отвлечься от генеральной линии в сторону пояснения оных, тем паче, что действо сие не одним токмо потаканием сиюминутности будет заметно, а такоже дальнейшему пониманию излагаемого споспешествовать может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение20.12.2013, 14:50 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
Утундрий в сообщении #803725 писал(а):
К слову, мне будет отрадно узреть какое-то решение упражнения 1.

Касательно же грядущего, учитывая недавнее недоумение schekn по поводу дефиниции наблюдаемых теории, мне хотелось бы отвлечься от генеральной линии в сторону пояснения оных, тем паче, что действо сие не одним токмо потаканием сиюминутности будет заметно, а такоже дальнейшему пониманию излагаемого споспешествовать может.

Ничего не понял.

(Оффтоп)

Мне , кроме треволнений конца года, приходится вести 3 темы на разных форумах. Это действительно не просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение20.12.2013, 18:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
Наблюдаемые в буквальном смысле. Времена, длины, углы там всякие.

P.S.

(Оффтоп)

Меня тут поправляют, что првавильно говорить не "такоже", а "такожде". Очень может быть, что оно так и есть. К правильнописаниям я отношусь изрядно творчески.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение20.12.2013, 22:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #803948 писал(а):
Меня тут поправляют, что првавильно... К правильнописаниям я отношусь изрядно творчески.

Ето заметно :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение03.01.2014, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517

(Оффтоп)

У меня небольшое ура. Наконец-то выходные и сразу аж четыре. Так что отосплюс и продолжу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение04.01.2014, 10:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10390
Ждём-с с нетерпением...

Я тут совершенно случайно заметил в этой теме обращённый и ко мне (в частности) вопрос:
В. Войтик в сообщении #788959 писал(а):
Ясно, что одному и тому же началу отсчёта могут соответствовать разное вращение декартовых осей. Нам же требуется узнать компоненты величины в данной системе отсчёта, о которой только известно движение её начала. Очевидно, что это не удастся, пока у нас отсутствует информация о положении каждой декартовой оси, ну или на крайний случай информация о величине угловой скорости.

Если же Вы меня просите представить 4-мерный способ построения такой гиперповерхности я это сделать не смогу, поскольку не геометр и вообще не математик. Возможно это может сделать epros, если захочет.
Заранее прося у топикстартера извинения за излишний мусор в его теме, всё же рискну вкратце ответить: Хотя описываемая здесь монадная система отсчёта совершенно безразлично относится к пространственным направлениям, вращение тела отсчёта ею всё же определено вполне однозначно, ибо покоящиеся мировые линии проходят не только через некое "начало отсчёта", а через все точки рассматриваемой окрестности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group