2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Радиус, кривизна и центр кривизны в точке (Зорич V.4.9)
Сообщение09.11.2013, 20:35 
Аватара пользователя


03/10/13
449
ewert в сообщении #786755 писал(а):
Не надо никаких омег. Введите произвольную зависимость угла от времени. После двукратного дифференцирования вектор ускорения совершенно явственно разобьётся на два слагаемых, одно из которых откровенно перпендикулярно радиус-вектору, а второе -- не менее откровенно параллельно. Чего и достаточно.

Я немного не понял, просто положить в моём решении $\omega(t) t = \alpha(t)$? Вроде как ничего поменяться не должно. То есть, грубо говоря, если в моём решении везде $\sin \omega t$ и $\cos \omega t$ заменить на $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$, а $\dot{\omega}$ и $\ddot{\omega}$ заменить на $\dot{\alpha}$ и $\ddot{\alpha}$ то выйдет то, что просите меня сделать вы, если я правильно понял.

ewert в сообщении #786755 писал(а):
о почему-то напрочь забываете продифференцировать само время.

Этого ещё больше не понял. Ведь $\frac{d}{dt} t(t) = 1$, то есть если мы время дифференцируем по времени, то должна получится единица и это я, вроде, везде учитываю.

Что-то я слегка запутался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиус, кривизна и центр кривизны в точке (Зорич V.4.9)
Сообщение09.11.2013, 20:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Urnwestek в сообщении #786763 писал(а):
Ведь $\frac{d}{dt} t(t) = 1$,

Совершенно верно. И где она у Вас, эта единичка? Что такое производная произведения?...
Впрочем, это уже не актуально.

Urnwestek в сообщении #786763 писал(а):
просто положить в моём решении $\omega(t) t = \alpha(t)$? Вроде как ничего поменяться не должно.

Только не положить, а заменить бессмысленное левое на осмысленное правое.

Вы всё-таки выпишите на бумажке результат в новом варианте. А потом вглядитесь в него -- и просто сгруппируйте по производным первого и второго порядков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиус, кривизна и центр кривизны в точке (Зорич V.4.9)
Сообщение09.11.2013, 21:03 
Аватара пользователя


03/10/13
449
ewert в сообщении #786772 писал(а):
Вы всё-таки выпишите на бумажке результат в новом варианте. А потом вглядитесь в него -- и просто сгруппируйте по производным первого и второго порядков.

Да, штуки со вторыми производными оказались коллениарны вектору скорости, а с первыми — радиус вектору. Взял квадрат длины вектора скорости и поделил на длину вектора со штуками с первой производной и всё вышло. Спасибо.

ewert в сообщении #786772 писал(а):
Совершенно верно. И где она у Вас, эта единичка? Что такое производная произведения?...

$\frac{d}{dt} \omega(t) t =\dot{\omega}t + \omega$. Теперь понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиус, кривизна и центр кривизны в точке (Зорич V.4.9)
Сообщение09.11.2013, 21:09 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Urnwestek в сообщении #786783 писал(а):
Да, штуки со вторыми производными оказались коллениарны вектору скорости, а с первыми — радиус вектору.

Ну в смысле с точностью до наоборот. Да, верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиус, кривизна и центр кривизны в точке (Зорич V.4.9)
Сообщение09.11.2013, 21:20 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Отчего же наоборот?

$r(t) = (r\cos{\alpha},r\sin{\alpha})$
$v(t) = (-r\dot{\alpha}\sin{\alpha},r\dot{\alpha}\cos{\alpha})$
$a(t) = (-r\dot{\alpha}^2\cos{\alpha} - r\ddot{\alpha}\sin{\alpha},-r\dot{\alpha}^2\sin{\alpha} + r\ddot{\alpha}\cos{\alpha} )$

$(-r\dot{\alpha}^2\cos{\alpha},-r\dot{\alpha}^2\sin{\alpha}) (-\frac{1}{\dot{\alpha}^2}) = r(t)$
$(-r\ddot{\alpha}\sin{\alpha}, r\ddot{\alpha}\cos{\alpha}) \frac{\dot{\alpha}}{\ddot{\alpha}} = v(t)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиус, кривизна и центр кривизны в точке (Зорич V.4.9)
Сообщение09.11.2013, 21:32 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Urnwestek в сообщении #786790 писал(а):
Отчего же наоборот?

От рассеянности. Я ведь тоже человек, не так ли?.. И тоже имею право удерживать в память готовый результат. И перепутать -- тоже имею.

Ну и перепутал; извините.

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиус, кривизна и центр кривизны в точке (Зорич V.4.9)
Сообщение09.11.2013, 21:33 
Аватара пользователя


03/10/13
449
ewert в сообщении #786795 писал(а):
От рассеянности. Я ведь тоже человек, не так ли?.. И тоже имею право удерживать в память готовый результат. И перепутать -- тоже имею.

Нет, что вы, я вас не упрекаю, спасибо вам за то, что вообще тратите на меня время, я просто всегда прежде всего допускаю вариант, что неправ — я, может я снова неправильно продифференцировал? (:

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиус, кривизна и центр кривизны в точке (Зорич V.4.9)
Сообщение09.11.2013, 21:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Urnwestek в сообщении #786796 писал(а):
я просто всегда прежде всего допускаю вариант, что неправ — я

Это Вы очень правильно допускаете. Не ради самоуничижения, а просто ради эффективности это первое, что следует предположить; ну а потом уж -- пытаться то ли подтвердить, то ли опровергнуть своё мнение.

К сожалению, форумное общение вообще провоцирует безаппеляционность; и с этой провокацией в самом себе следует бороться. К счастью, здешняя модераторская политика мягко так, нежно, но этому препятствует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиус, кривизна и центр кривизны в точке (Зорич V.4.9)
Сообщение09.11.2013, 22:49 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Хотелось бы доделать упражнение до конца:
c)
При движении по любой кривой, учитывая b), величину:
$r(t)=\frac{|v|^2}{|a_n|}$
естественно называть радиусом кривизны кривой в точке $(x(t),y(t))$
Покажите, что радиус кривизны вычисляется по формуле:
$r(t) = \frac{(\dot{x}^2 + \dot{y}^2)^{\frac{3}{2}}}{|\dot{x}\ddot{y} - \ddot{x}\dot{y}|}$

Ну тут подстановкой $|a_n| = |a| \frac{|(a,v_n)|}{|a||v|} \frac{|v|}{|v|}$ это просто показать.

d)
Величину, обратную радиусу кривизны, называют абсолютной кривизной плоской кривой в данной точке. Наряду с абсолютной кривизной рассматривается величина:
$k(t) = \frac{\dot{x}\ddot{y} - \ddot{x}\dot{y}}{(\dot{x}^2 + \dot{y}^2)^{\frac{3}{2}}}$
называемая кривизной.
Покажите, что знак кривизны характеризует направление поворота кривой по отношению к касательной. Выясните, какова размерность кривизны.

Размерность, как я пониманию $ \frac{\text{м}}{\text{c}^2} \cdot \frac{\text{с}^3}{\text{м}^3} = \frac{\text{с}}{\text{м}^2}$? Ведь в числителе стоит модуль ускорения, а в знаменателе куб скорости.

Что заметил: в числителе (а только от него зависит знак) $k(t)$ стоит векторное произведение ускорения на вектор скорости $[v,a]$ то есть. Знак векторного произведения положителен, если $a$ лежит по левую сторону от $v$ и отрицателен, если $a$ лежит по правую сторону от $v$. Вектор $v$ направлен вдоль касательной.

И тут я понял, что не понял задания. Что значит "характеризует направление поворота кривой по отношению к касательной"? В том смысле, что знак кривизны совпадает/противоположен со знаком $[v(t),r(t+h)-r(t)]$ при достаточно маленьких положительных $h$? То есть, геометрически, "росток" функции в точке $r(t)$ лежит по левую/правую сторону от касательной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиус, кривизна и центр кривизны в точке (Зорич V.4.9)
Сообщение09.11.2013, 22:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Urnwestek в сообщении #786822 писал(а):
Выясните, какова размерность кривизны.

Метры в минус первой. По определению кривизны. Тут Зорич просто в очередной раз наводит тень на плетень (он это любит).

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиус, кривизна и центр кривизны в точке (Зорич V.4.9)
Сообщение09.11.2013, 23:00 
Аватара пользователя


03/10/13
449
В знаменателе стоит квадрат скорости. Блин. Действительно метры в минус первой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиус, кривизна и центр кривизны в точке (Зорич V.4.9)
Сообщение10.11.2013, 00:10 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Знак кривизны $k(t)$ зависит лишь от числителя (знаменатель положителен) а в числителе находится векторное произведение вектора скорости на вектор ускорения. Пусть $[v,a]>0$ это значит, что $[v,\lim\limits_{h\to 0} \frac{v(t+h)-v(t)}{h}]>0$, это означает, что существует такое $\delta$, что для любого $0<h<\delta$ будет выполнятся $[v,\frac{v(t+h)-v(t)}{h}]>0$, по свойствам определителя получим $\frac{1}{h}[v(t),v(t+h)]>0$ так как $\frac{1}{h}>0$ следовательно $[v(t),v(t+h)]>0$ это значит, что вектор $v(t+h)$ лежит по левую сторону от вектора $v(t)$. Что, собственно, и значит, что производная "поворачивает" против часовой стрелки.

Верно ли будет такое доказательство того, что знак кривизны характеризует направление поворота касательной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиус, кривизна и центр кривизны в точке (Зорич V.4.9)
Сообщение10.11.2013, 15:52 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Нужна помощь с пунктом:
f)
Подберите константы $a,b,R$ так, чтобы окружность $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ имела с данной параметрически заданной кривой $x=x(t)$, $y=y(t)$ в точке $x_0=x(t_0)$, $y_0=y(t_0)$ касание возможно более высокого порядка. Предполагается, что $x(t),y(t)$ дважды дифференцируемы и $(\dot{x}(t_0),\dot{y}(t_0))\neq(0,0)$.
Указанная окружность называется соприкасающейся окружностью кривой в точке $(x_0,y_0)$. Её центр называется центром кривизны кривой в точке $(x_0,y_0)$. Проверьте, что её радиус совпадает с определенным в b) радиусом кривизны кривой в точке.

Вроде понятно из геометрических соображений, что касательная к кривой в точке так же должна быть касательной искомой окружности, то есть, центр лежит где-то на прямой, перпендикулярной касательной и проходящей через $(x_0,y_0)$, но, во-первых, рисунок не доказательство, хотелось бы аналитического обоснования, а во-вторых, даже если и лежит он на этой прямой, как его дальше искать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиус, кривизна и центр кривизны в точке (Зорич V.4.9)
Сообщение10.11.2013, 19:44 


05/10/13
80
Используйте свойство: кривизна и радиус кривизны-величины взаимно обратные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиус, кривизна и центр кривизны в точке (Зорич V.4.9)
Сообщение10.11.2013, 19:52 
Аватара пользователя


03/10/13
449
forexx в сообщении #787199 писал(а):
Используйте свойство: кривизна и радиус кривизны-величины взаимно обратные.

Абсолютная кривизна и радиус кривизны, как я понимаю. (: Но тут-то, как я понял, требуют как раз то и доказать, что радиус кривизны — это радиус соприкасающейся окружности, а использовать то, что доказываешь — не комильфо. Или я неправильно понял ваше указание?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group