2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Граничные условия периодичности в разностной схеме
Сообщение08.11.2013, 15:08 


06/11/11
2
Добрый день, решаю численно систему диф. ур в частных производных.
Разностную схему построил, но заметил интересную вещь.
У меня есть граничные условия вида:
$u(r,0,t)=u(r,2\pi,t)$
В разностном виде записываю как
$u_{i,1}^k=u_{i,n}^k$
где n- число узлов по второй переменной.
Получается, что в данном случае они не зависят от других посчитанных значений сетки и остаются неопределенны.
Как быть с такими условиями?
Была идея добавить -1 слой по этой переменной и посчитать на левой границе по формулам для самих уравнений, а потом приравнять значения на правой границе к посчитанным значениям. Но мне кажется это слишком грубо и не точно.
Спасибо за ответы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Граничные условия периодичности в разностной схеме
Сообщение08.11.2013, 15:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
gear в сообщении #786321 писал(а):
В разностном виде записываю как
$u_{i,1}^k=u_{i,n}^k$
где n- число узлов по второй переменной.

Только не $u_{i,1}^k=u_{i,n}^k$, а $u_{i,0}^k=u_{i,n}^k$ (при естественной нумерации $n$ -- это количество отрезков, на которые разбивается период).

Просто внесите соответствующие коррективы в разностное уравнение для первого узла. Формально там должны зацепляться узлы $u_{i,0},\;u_{i,1},\;u_{i,2}$, фактически же это будет уравнение для $u_{i,n},\;u_{i,1},\;u_{i,2}$. В явном же виде никаких граничных условий по углу ставить не надо.

А, да, и ещё для последнего узла тоже, конечно: будет фактически уравнение не для $u_{i,{n-1}},\;u_{i,n},\;u_{i,{n+1}}$, а для $u_{i,{n-1}},\;u_{i,n},\;u_{i,1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Граничные условия периодичности в разностной схеме
Сообщение08.11.2013, 17:52 


06/11/11
2
ewert в сообщении #786325 писал(а):
gear в сообщении #786321 писал(а):
В разностном виде записываю как
$u_{i,1}^k=u_{i,n}^k$
где n- число узлов по второй переменной.

Только не $u_{i,1}^k=u_{i,n}^k$, а $u_{i,0}^k=u_{i,n}^k$ (при естественной нумерации $n$ -- это количество отрезков, на которые разбивается период).

Просто внесите соответствующие коррективы в разностное уравнение для первого узла. Формально там должны зацепляться узлы $u_{i,0},\;u_{i,1},\;u_{i,2}$, фактически же это будет уравнение для $u_{i,n},\;u_{i,1},\;u_{i,2}$. В явном же виде никаких граничных условий по углу ставить не надо.

А, да, и ещё для последнего узла тоже, конечно: будет фактически уравнение не для $u_{i,{n-1}},\;u_{i,n},\;u_{i,{n+1}}$, а для $u_{i,{n-1}},\;u_{i,n},\;u_{i,1}$.


Понял, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Граничные условия периодичности в разностной схеме
Сообщение09.11.2013, 00:55 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Немного не в тему, но такое условие естественно возникает в 2D-моделировании на круге и 3D-моделировании на сфере. Для неявного метода эта проблема решается циклической прогонкой по углу (там, кстати, так и выходит, что значения $u^{n}_{k,1}$ и $u^{n}_{k,n}$ совпадают и никаких дополнительных условий ставить не нужно). Литература: Самарский А.А., Николаев Е.С. - Методы решения сеточных уравнений - 1978.

 Профиль  
                  
 
 Re: Граничные условия периодичности в разностной схеме
Сообщение09.11.2013, 08:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
cool.phenon в сообщении #786435 писал(а):
Для неявного метода эта проблема решается циклической прогонкой по углу (там, кстати, так и выходит, что значения $u^{n}_{k,1}$ и $u^{n}_{k,n}$ совпадают и никаких дополнительных условий ставить не нужно).

Только наоборот: сначала составляется система, в которой они совпадают, и уже потом для неё сочиняется метод, который авторы называют "циклической прогонкой". Причём никакого спецметода, в принципе, можно и не сочинять -- достаточно тупо реализовать метод Гаусса с обратным ходом специально для такой системы (ровно так же, как в случае обычной трёхдиагональной системы выводились рекуррентные соотношения для обычной прогонки). При этом, правда, понадобится немножко больше операций (где-то на четверть), но зато меньше (или вообще не понадобится) дополнительной памяти.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group