2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оценка матожидания
Сообщение06.11.2013, 18:17 


07/03/11
690
Задан случайный процесс $\mathbf X_t, t\in \mathbb R$ с конечными моментами. Как оценить мат. ожидание этого процесса?
Если у нас есть несколько реализаций процесса $\{x_1(t),...,x_n(t)\}$, то мы можем оценить как выборочное среднее. Можно ли оценить МО по одной реализации? Я пока придумал такую оценку: $\hat\mu _{\mathbf X_t}=\frac 1t\int _{[0,t]}x(\tau )d\tau$ но не могу доказать её несмещённость. Подскажите, с чего начать? (и верна ли моя оценка?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка матожидания
Сообщение07.11.2013, 08:24 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
vlad_light в сообщении #785682 писал(а):
Можно ли оценить МО по одной реализации?
Можно, если процесс эргодический.
vlad_light в сообщении #785682 писал(а):
Подскажите, с чего начать?
С определения несмещённой оценки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка матожидания
Сообщение07.11.2013, 13:10 


07/03/11
690
Цитата:
Можно, если процесс эргодический.

Это тот, у которого МО не зависит от времени? Тогда $$E\hat\mu _{\mathbf X_t}=E\frac 1t\int _{[0,t]}x(q)dq=\frac 1t\int _{[0,t]}Ex(q)dq=m\frac 1t\int _{[0,t]}dq=m$$ (тут т. Фубини использовал).
Можно так показать $$\int _{[0,t]}m(q)dq=tm(t),m(t)-m(0)=m(t)+tm'(t),tm'(t)+m(0)=0\Rightarrow m(t)=\operatorname{const}$$что для других процессов оценка будет смещённой?

-- Чт ноя 07, 2013 12:48:06 --

Ой, это я ерунду написал. Я хотел спросить, как показать, что для других процессов нет несмещённых оценок МО по одной реализации?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка матожидания
Сообщение07.11.2013, 20:20 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Ну вот Вы и сами хорошо разбираетесь. Думаю в вашей задаче с эргодичностью я даже перебрал - достаточно, чтобы математическое ожидание не изменялось во времени.

Я бы оформил это несколько иначе. В ваших обозначениях, как я понял, $\mathbf X_t$ случайный процесс, а $x(t)$ - его реализация. Так вот сама оценка является случайной величиной и определяется как $\hat\mu _{\mathbf X_t}=\frac 1T\int\limits_{0}^{T}\mathbf X_tdt$, где $T$ - время наблюдения реализации. Её математическое ожидание $$E\hat\mu _{\mathbf X_t}=E\frac 1T\int\limits_{0}^{T}\mathbf X_tdt=\frac 1T\int\limits_{0}^{T}E\mathbf X_tdt=m.$$ А вот конкретное значение значение оценки, которое мы получим по результатам наблюдения реализации, которая нам досталась в опыте со случайным процессом $$\hat\mu _{\mathbf X_t}=\frac 1T\int\limits_{0}^{T}x(t)dt$$. К нему то математическое ожидание применять незачем.

Если требуется "показать", что для процессов с непостоянным математическим ожиданием эта оценка не является несмещённой - то уже показали - интеграл никуда не спрячется и всё тут. Но вот можно ли это считать доказательством - затрудняюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка матожидания
Сообщение08.11.2013, 03:02 


07/03/11
690
Цитата:
сама оценка является случайной величиной

я думал, что оценка является случайным процессом. Именно из этих соображений я и писал t маленькое, как в описании процесса.
Цитата:
эта оценка не является несмещённой

то, что эта оценка является смещённой -- понятно. Но ведь бывают и другие оценки.

(Оффтоп)

Я понимаю, что можно взять учебник и всё это там прочитать. Но я хотел бы прийти к этому сам, не прибегая к "жульничеству". Мне так проще в будущем понимать доказательства более сложных теорем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка матожидания
Сообщение08.11.2013, 09:17 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Ну пусть $t$, пусть случайный процесс.

Оценок можно придумать сколько угодно. Просто кроме несмещённости к ним обычно предъявляют другие требования, например, минимальную дисперсию, также требования, связанные с ассимтотикой, и обычно занимаются поиском оптимального алгоритма оценивания, который лучше всех этим требованиям удовлетворяет. Об этом расскажут в учебнике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка матожидания
Сообщение09.11.2013, 10:27 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Может быть так будет лучше оформить: Предположим, что рассматриваемая оценка не смещённая, тогда $$E\hat\mu _{\mathbf X_t}=\frac 1t\int\limits_{0}^{t}m(x)dx=m(t).$$ Продиффиренцируем полученное выражение $$m(t)=m(t)+tm'(t),$$ откуда $m'(t)=0$ и $m(t)=\operatorname{const}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка матожидания
Сообщение09.11.2013, 22:51 


07/03/11
690
А куда $m(0)$ делась при дифференцировании интеграла?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка матожидания
Сообщение10.11.2013, 01:29 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
vlad_light в сообщении #786823 писал(а):
А куда $m(0)$ делась при дифференцировании интеграла?
Трудный вопрос. $\int\limits_{0}^{t}f(x)dx=F(t)-F(0)$, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$, то есть $f(x)=F'(x)$. Мне думается, что дифференцирование интеграла, с учётом линейности производной, выглядит так: $\left(\int\limits_{0}^{t}f(x)dx\right)'=F'(t)-\left(F(0)\right)'=f(t)$.

Да и насчёт оценок. Рассматривают, например, осреднение процесса $$\mu(t)=\frac 1T\int\limits_{t}^{t+T}X(\tau)d\tau,$$ где $T$ такой интервал, что математическое ожидание процесса можно считать неизменным, то есть $m(t)|_{t\in[t,t+T]}\approx m(t)$.

Когда можно считать, что математическое ожидание процесса изменяется во времени медленно, а реализации процесса - быстро (центрированная составляющая процесса - широкополосный стационарный шум), то математическое ожидание процесса получают путём фильтрации. Несмещённость обеспечивается выбором фильтра с импульсной характеристикой $h(t)$, локализованной на интервале такой длительности $T$, что можно считать $m(t)|_{t\in[t,t+T]}\approx m(t)$. Тогда $$\mu(t)=\frac {\int\limits_{0}^{+\infty}X(\tau)h(t-\tau)d\tau}{\int\limits_{0}^{+\infty}h(t-\tau)d\tau}.$$ Осреднение - частный случай фильтрации, когда импульсная характеристика фильтра прямоугольна. Но это всё уже не математика вовсе, а скорее практика.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group