2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Написать уравнение плоскости
Сообщение04.11.2013, 14:50 


10/03/13
74
Здравствуйте! Дан куб $ABCDA'B'C'D'$ с координатами: $A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A'(0,0,1), B'(1,0,1), C'(1,1,1), D'(0,1,1)$. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки $P, Q$ и $H$, где $P$ - центр грани $ABB'A'$, $Q$ делит $\overline{BC'}$ в отношении $\frac{1}{3}$ и $H$ расположена на ребре $BB'$ так, что длина вектора $\overline{PH} + \overline{HQ}$ минимальна.
Точки $P$ и $Q$ я нашёл:
$P(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})$

$Q(1,\frac{1}{3},\frac{1}{3})$.
Как найти точку H? Когда длина этого вектора будет минимальна? Подскажите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написать уравнение плоскости
Сообщение04.11.2013, 14:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Длина вектора или сумма длин? Вектор $\overline{PH} + \overline{HQ} =\overline{PQ}$
Наверное, все же, имеется в виду сумма длин.
Видимо, $H$ лежит на срединном перпендикуляре к $PQ$, в данном случае это плоскость. То есть $H$ равноудалена от $P$ и $Q$. Только это надо проверить (доказать).

 Профиль  
                  
 
 Re: Написать уравнение плоскости
Сообщение04.11.2013, 15:29 


10/03/13
74
Составил уравнение равенства длин $|\overline{PH}| = |\overline{HQ}|$.
После преобразований получилось уравнение $x+2y-\frac{1}{3}z-\frac{13}{18}=0$.
Потом вспомнил, что H лежит на ребре, а значит x=1 и y=0. z получилось $\frac{5}{6}$.
Составил уравнение плоскости по трём точкам, в итоге получилось $4x-9y-6z+1=0$, что не сходится с ответом ($x+y+3z-2=0$). Я что-то делаю не правильно или где-то ошибка в арифметике? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Написать уравнение плоскости
Сообщение04.11.2013, 15:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ни точка $Q$, полученная вами, не лежит на этой плоскости.

-- 04.11.2013, 15:34 --

Dellghin в сообщении #784533 писал(а):
$Q$ делит $\overline{BC'}$ в отношении $\frac{1}{3}$
Не понятная формулировка. Может, имелось в виду $1:3$? Тогда трети в координатах надо заменить на четверти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написать уравнение плоскости
Сообщение04.11.2013, 16:10 


10/03/13
74
Извините за невнимательность, $Q(\frac{5}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4})$, $H(1,0,\frac{5}{8})$, если я опять где-нибудь не ошибся. Но всё равно полученное уравнение $2x-7y-8z+3$ не сходится с ответом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написать уравнение плоскости
Сообщение04.11.2013, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ничего себе! У вас точка $Q$ вообще в куб не попадает!

 Профиль  
                  
 
 Re: Написать уравнение плоскости
Сообщение05.11.2013, 22:08 


05/10/13
80
-- 05.11.2013, 23:11 --

provincialka , с чего вы взяли, что $$PH=QH$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Написать уравнение плоскости
Сообщение05.11.2013, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Нет, я не уверена, просто предположила. Некогда было думать над этим. Поэтому и предложила:
provincialka в сообщении #784536 писал(а):
Только это надо проверить (доказать).

 Профиль  
                  
 
 Re: Написать уравнение плоскости
Сообщение05.11.2013, 22:24 


05/10/13
80
Dellghin, воспользуйтесь формулами деления отрезка в данном отношении (эти отношения пока вам неизвестны) .Выберите два (пока)
неизвестных параметра.Запишите систему двух уравнений (относительно неизвестных параметров), используя свойство скалярного умножения перпендикулярных векторов.Решив систему, найдете значение параметров и тем самым найдете координаты точки $$H$$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написать уравнение плоскости
Сообщение05.11.2013, 22:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
У меня была и другая идея. Что точка $H$ лежит на плоскости, проходящей через $PQ$ перпендикулярно ребру $BB'$. Это можно доказать, например, аналитически.
Будем рассуждать в общем виде. Пусть нам даны две точки $P,Q$ и прямая, скрещивающаяся с прямой $PQ$. Повернем систему координат так, что точки $P,Q$ лежат на оси $Ox$ а прямая перпендикулярна плоскости $Oxy$. Тогда можно считать, что их координаты $P(c,0,0); Q(-c,0,0)$ а прямая имеет уравнения $x=a, y=b$. Тогда искомая сумма расстояний равна $\sqrt{(a-c)^2+b^2+z^2}+\sqrt{(a+c)^2+b^2+z^2}$. Дифференцируя, получаем, что производная обращается в 0 только при $z=0$.
Может, это можно доказать строго геометрически.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написать уравнение плоскости
Сообщение05.11.2013, 23:06 


05/10/13
80
Через $PQ$ нельзя провести плоскость перепендикулярно $BB1$ , если только $PQ$ не параллельно плоскости $XOY$

 Профиль  
                  
 
 Re: Написать уравнение плоскости
Сообщение05.11.2013, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Да, я уже заметила, но тут у меня $dxdy$ завис. Конечно, нужно провести общий перпендикуляр к этим двум скрещивающимся прямым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написать уравнение плоскости
Сообщение05.11.2013, 23:36 


05/10/13
80
provincialka в сообщении #785414 писал(а):
Да, я уже заметила, но тут у меня $dxdy$ завис. Конечно, нужно провести общий перпендикуляр к этим двум скрещивающимся прямым.

Это уже другое дело :-) .И проще всего это сделать как я предложил ранее т.к. нужно узнать координаты точки $H$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написать уравнение плоскости
Сообщение06.11.2013, 21:42 


05/10/13
80
Оказывается, предложенное мною решение неверное - подвела интуиция. $\min PH+QH$ ,будет если $H=(1;0;1/3)$ , а не $H=(1;0;3/10)$

$\min PH+QH$ нужно найти при исследовании на экстремум.
P.S. При $H=(1;0;1/3)$ уравнение плоскости как раз то, что в ответе ТС $x+y+3z-2=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Написать уравнение плоскости
Сообщение06.11.2013, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ну и задачка! Сколько народу зубы обломало! Только ТС не волнуется, наверное, уже сдал. Но оптимизация там ... Бррр.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group