2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Задачки от Лебедя
Сообщение02.11.2013, 18:12 


12/10/13
99
1. Найти трёхзначное число, если известно, что квадрат числа, цифрами которого являются первая и последняя цифры этого трёхзначного числа, равен этому трёхзначному числу, а сумма цифр данного трёхзначного числа равна 4.
2. Найти трёхзначное число, если известно, что квадрат числа, цифрами которого являются первая и последняя цифры этого трёхзначного числа, равен этому трёхзначному числу, а сумма цифр данного трёхзначного числа равна 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение02.11.2013, 18:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Может быть это задачки для Лебедь-куна?
:-)
Во второй задаче можно выкинуть середину. Трёхзначных чисел с суммой цифр равной единице не так уж много.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение02.11.2013, 18:19 


12/10/13
99
Нет. Эти задачи я придумал. Нет, нет. Я не прошу решить за меня очередную олимпиаду. Просто решил кинуть свои задачки ради интереса) Я-то знаю их решение, но хочу посмотреть как другие решат)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение02.11.2013, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
А я было подумал, что они с какой-то крутой олимпиады.
Вы на хорошем пути. Придумать хорошую задачу иногда труднее, чем решить её.
Но тут как-то обычным перебором.
Так что придумывайте ещё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение02.11.2013, 18:26 


12/10/13
99
Цитата:
Но тут как-то обычным перебором.


Её можно решить и аналитически)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение02.11.2013, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
В первой задаче условие на сумму цифр - лишнее. На олимпиадную задачу не похоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение02.11.2013, 18:29 


12/10/13
99
Подсказка: нужно составить систему уравнений)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение02.11.2013, 18:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Боже, зачем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение02.11.2013, 18:32 


12/10/13
99
provincialka в сообщении #783716 писал(а):
В первой задаче условие на сумму цифр - лишнее.


Почему это? Не одно такое трёхзначное число, которое является квадратом числа, которое состоит из первой и последней цифры трёхзначного числа. Если бы было одно такое число, то условие о сумме цифр было бы лишним, конечно.

-- 02.11.2013, 19:33 --

provincialka в сообщении #783719 писал(а):
Боже, зачем?


Потому что в задаче не одно условие)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение02.11.2013, 19:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
LebedKun в сообщении #783720 писал(а):
Не одно такое трёхзначное число, которое является квадратом числа, которое состоит из первой и последней цифры трёхзначного числа.
Да, аж целых два: последней цифрой может быть $0$, $1$ или $5$, и число должно быть меньше $15$, так как в противном случае число сотен квадрата больше, чем первая цифра двузначного числа. Получаем $10^2=100$ и $11^2=121$. Теперь можно и о сумме цифр подумать.

LebedKun в сообщении #783717 писал(а):
Подсказка: нужно составить систему уравнений)
Зачем?

LebedKun в сообщении #783703 писал(а):
сумма цифр данного трёхзначного числа равна 1
Существует только одно трёхзначное число, у которого сумма цифр равна нулю, поэтому все остальные условия во второй задаче лишние.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение02.11.2013, 19:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Да, в первом есть еще решение. Но надо его "устранить" как-то изящнее. А вообще, задачи с двумя решениями тоже могут быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение02.11.2013, 20:42 


12/10/13
99
Someone

Верно)

Число в первой задаче - 121.
Число во второй задаче - 100.

Моё решение:

1.
1) Искомое число представлено в виде $100a+10b+c$, где $0<a\leqslant 9$, $0\leqslant b\leqslant 9$, $0\leqslant c\leqslant 9$, $a\in Z$, $b\in Z$, $c\in Z$

2) По условию $100a+10b+c = (10a+c)^2$ и $a+b+c=4$


3) Составим систему уравнений и неравенств:

$ \left\{
\begin{aligned}
100a+10b+c&=(10a+c)^2\\
a+b+c&=4\\
0<a\leqslant 9\\
0\leqslant b\leqslant 9\\
0\leqslant c\leqslant 9.\\
\end{aligned}
\right.$

Решение данной системы алгебраическим методом громоздкое. Поэтому будем рассуждать логически:

$a+b+c=4$, значит $a_{\min}=1$, $a_{\max}=4$, $b_{\min}=0$, $b_{\max}=4$, $c_{\min}=0$, $c_{\max}=4$.

Пусть $a=a_\min$ и $c=c_\min$, тогда $(10a+c)^2=(10\cdot 1 + 0)^2 = 100 \to 1+0+0<a+b+c$;
Пусть $a=a_\min$ и $c=c_{\min}+1$, тогда $(10a+c)^2=(10\cdot 1 + 1)^2 = 121 \to 1+2+1=a+b+c$;
Значит $b=4-a-c=4-1-1=2$

4) ${\over {abc}}=121$ - искомое число.

2.

1) Повторим пункт 1 решения предыдущей задачи
2) По условию $100a+10b+c = (10a+c)^2$ и $a+b+c=1$
3) Повторим пункт 3 решения предыдущей задачи, кроме:

$ \left\{
\begin{aligned}
100a+10b+c&=(10a+c)^2\\
a+b+c&=1\\
0<a\leqslant 9\\
0\leqslant b\leqslant 9\\
0\leqslant c\leqslant 9.\\
\end{aligned}
\right.$

$a+b+c=1$, значит $a_{\min}=1$, $a_{\max}=1$, значит $b+c=(a+b+c)-a=1-1=0$
$b+c=0$
$b=-c$, значит $|b|=|c|$, но т.к. $b\geqslant 0$ и $c\geqslant 0$, следовательно $b=c=0$

4) ${\over {abc}}=100$ - искомое число.

-- 02.11.2013, 21:53 --

================================================

3. Найти трёхзначное число, если оно является треугольным и все цифры этого трёхзначного числа равны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение02.11.2013, 21:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Я рассуждала не так. В первой задаче имеем $100a + 10b+c=100a^2+20ac+c^2$. Ясно, что $a^2\ge a$, поэтому равенство возможно, только если $a=1$. Кроме того, $c^2$ заканчивается на $c$, так что это число равно 0,1, 5 или 6. Возводим в квадрат числа $10,11,15,16$, на 1 начинаются только $100,121$. Получаем 2 решения. Исключать одно из них с помощью такого "сильного" утверждения, как точное указание суммы цифр - слишком расточительно.
Можно, например сказать, что оно нечетное. Или палиндром. Или еще что-нибудь.

Впрочем, трехзначных квадратов вообще немного, можно их просто перебрать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение02.11.2013, 22:15 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
LebedKun в сообщении #783770 писал(а):
${\over {abc}}=100$ - искомое число
$\overline{abc}=100$
\overline{abc}=100

-- Вс ноя 03, 2013 01:18:52 --

LebedKun в сообщении #783770 писал(а):
3. Найти трёхзначное число, если оно является треугольным и все цифры этого трёхзначного числа равны.
Нет интереса решать такую задачу, слишком просто и переборно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение03.11.2013, 02:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #783786 писал(а):
Кроме того, $c^2$ заканчивается на $c$, так что это число равно 0,1, 5 или 6
Чёрт, про шестёрку забыл.


arseniiv в сообщении #783802 писал(а):
Нет интереса решать такую задачу, слишком просто и переборно.
Интереса, конечно, нету, поскольку тривиально без всякого перебора. Задача решается мгновенно и устно, но объяснения решения, конечно, некоторое место занимают.
Треугольное число — это $$1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2.$$ Поскольку его десятичная запись состоит из трёх одинаковых цифр, то число это делится на $111=3\cdot 37$. Число $37$ простое, поэтому либо $n$, либо $n+1$ делится на $37$. Аналогично одно из этих чисел делится на $3$.
Заметим, что должно быть $\frac{n(n+1)}2<1000$, поэтому $n<45$, ибо $45^2=2025>2000$, откуда $\frac{46\cdot 46}2>\frac{45^2}2>1000$.
Среди натуральных чисел, меньших $45$, на $37$ делится только $37$.
Вариант $n=37$, $n+1=38$ не годится, так как ни одно из этих чисел не делится на $3$, поэтому остаётся только $n=36$, $n+1=37$. Следовательно, искомое число равно $$\frac{36\cdot 37}2=18\cdot 37=6\cdot 3\cdot 37=6\cdot 111=666.$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 85 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group