2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение23.11.2013, 18:52 


12/10/13
99
Sonic86, т.е. остаток от деления $x^2$ на $4$ равен либо $1$, либо $0$?

P/S/ Просто мне эта форма записи не привычна.

У меня тоже был похожий способ решения, только способ у меня был несколько по-проще, но он занял бы больше времени, чем предложенный Вами способ.

Вот моё решение:
1. Многочлен $a^2+b^2+c^2$ в результате даст чётное число, т.к. $512$ - чётное число, а сумма всех чётных чисел - чётное число (т.к. при $n=2k$ и $m=2t$ - чётных числах, $n \pm m=2k\pm2t=2(k \pm t)$, и $2(k \pm t)$ - чётное число), значит мы можем представить этот многочлен в виде $a^2+b^2+c^2=2a_1^2+2b_1^2+2c_1^2$.
2. Уравнение примет вид:

$2a_1^2+2b_1^2+2c_1^2=256$

Делим каждый раз уравнение на 2:

$a_1^2+b_1^2+c_1^2=128$

$\frac{a_1^2}{2}+\frac{b_1^2}{2}+\frac{c_1^2}{2}=64$

$\frac{a_1^2}{4}+\frac{b_1^2}{4}+\frac{c_1^2}{4}=32$

$\frac{a_1^2}{8}+\frac{b_1^2}{8}+\frac{c_1^2}{8}=16$

$\frac{a_1^2}{16}+\frac{b_1^2}{16}+\frac{c_1^2}{16}=8$

$\frac{a_1^2}{32}+\frac{b_1^2}{32}+\frac{c_1^2}{32}=4$

$\frac{a_1^2}{64}+\frac{b_1^2}{64}+\frac{c_1^2}{64}=2$

$\frac{a^2}{32}+\frac{b^2}{32}+\frac{c^2}{32}=4$

Т.к. при $a$, $b$ и $c$ натуральных числах, $4=1^2+1^2+1^2+1^2$, переменных в уравнении - $3$, а $\sqrt{32}$ - иррациональное число, значит не существует решений уравнения $a^2+b^2+c^2=2^9$ в натуральных числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение23.11.2013, 19:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
LebedKun в сообщении #791789 писал(а):
Т.к. при $a$, $b$ и $c$ натуральных числах, $4=1^2+1^2+1^2+1^2$, переменных в уравнении - $3$, а $\sqrt{32}$ - иррациональное число, значит не существует решений уравнения $a^2+b^2+c^2=2^9$ в натуральных числах.
Непонятно, поясните.
А то, например, $\sqrt{17}$ - тоже иррациональное число, а $\frac{4^2}{17}+\frac{4^2}{17}+\frac{6^2}{17} = 4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение23.11.2013, 19:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Значит и уравнение $a+b+c=512$ не имеет решений в натуральных числах.
Да, выходит, что-то не то в арифметике.
Кстати, почему Вы делили только на $2$, а не сразу на $2^2=4$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение23.11.2013, 19:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
LebedKun в сообщении #791789 писал(а):
1. Многочлен $a^2+b^2+c^2$ в результате даст чётное число, т.к. $512$ - чётное число, а сумма всех чётных чисел - чётное число (т.к. при $n=2k$ и $m=2t$ - чётных числах, $n \pm m=2k\pm2t=2(k \pm t)$, и $2(k \pm t)$ - чётное число), значит мы можем представить этот многочлен в виде $a^2+b^2+c^2=2a_1^2+2b_1^2+2c_1^2$.
Да и тут не все в порядке. Почему не может быть так, что $a$ и $b$ нечетно, а $c$ четно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение25.11.2013, 21:20 


04/06/12
393
Может ли быть рациональным корень уравнения $^nx = 2, n \in \mathbb{N}$ при каком-нибудь $n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение25.11.2013, 22:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
$^nx$ --- это что за зверь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение25.11.2013, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Видимо, несколько раз упомянутая за последние дни тетрация.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение27.11.2013, 18:30 


12/10/13
99
Цитата:
Может ли быть рациональным корень уравнения $^nx = 2, n \in \mathbb{N}$ при каком-нибудь $n$?


$^nx=x^{x^{x^{...^x}}}$ ($n$ раз). При $n>1$ число $^nx$ - составное, но $2$ - простое число, следовательно при $n>1$ и $n \in \mathbb{N}$ уравнение $^nx = 2$ не имеет рациональных корней. При $n=1$ уравнение имеет $1$ корень - $x=2$.

-- 27.11.2013, 19:34 --

Докажите, что если биссектриса, проведённая из острого угла в прямоугольном треугольнике, отсекает равнобедренный треугольник, то этот острый угол равен 60 градусов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение27.11.2013, 18:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Про тетрацию не буду. Ваше решение говорит само за себя. Между прочим, это вроде бы ещё открытая задача, и Вы можете попытаться сорвать куш.

Про биссектрису надо доказывать от противного. Предположить, что не 60 градусов и привести к противоречию с по выбору. Доказательство напрямую, используя свойство углов при основании, в старые годы привело к краху не одну тысячу абитуриентов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение27.11.2013, 21:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
LebedKun в сообщении #793478 писал(а):
При $n>1$ число $^nx$ - составное, но $2$ - простое число, следовательно при $n>1$ и $n \in \mathbb{N}$ уравнение $^nx = 2$ не имеет рациональных корней.
А что такое составное рациональное число?

gris в сообщении #793488 писал(а):
Про биссектрису надо доказывать от противного. Предположить, что не 60 градусов и привести к противоречию с по выбору. Доказательство напрямую, используя свойство углов при основании, в старые годы привело к краху не одну тысячу абитуриентов.
Это такая тонкая шутка или я чего-то не понимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение27.11.2013, 21:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Xaositect, не шутка, к сожалению. Ну дайте Ваше решение. Я думаю, что у Вас не хватит терпения его выложить. Вопрос тут чисто методический, а не геометрический, так что модераторы (Дай Админ им сил и здоровья) не сочтут за нарушение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение27.11.2013, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
gris в сообщении #793488 писал(а):
Доказательство напрямую, используя свойство углов при основании, в старые годы привело к краху не одну тысячу абитуриентов.
Хорошо, что мне не надо никуда поступать. Я бы тоже решила сравнением углов. Ясно, что треугольник, содержащий прямой угол, здесь не может быть равнобедренным. Ну, а для второго треугольника надо рассмотреть три случая, выбирая два угла и приравнивая их друг к другу. Писать решение не буду, оставлю для Xaositect

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение27.11.2013, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Наверное, показалось :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение27.11.2013, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
gris, вы имеете в виду, что пропускали некоторые случаи? Или я тоже чего-то пропустила?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки от Лебедя
Сообщение27.11.2013, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
gris в сообщении #793579 писал(а):
Xaositect, не шутка, к сожалению. Ну дайте Ваше решение. Я думаю, что у Вас не хватит терпения его выложить.

Проводим биссектрису острого угла $\alpha$ прямоугольного треугольника.
$\begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(2,4)--(2,0)--cycle;
\draw (0,0)--(2,1.2);
\draw (1.8,0)--(1.8,0.2)--(2,0.2);
\draw (0.2,0) arc (0:60:0.2);
\node at (0.6,0.1) {\small$\alpha/2$};
\node at (0.4,0.5) {\small$\frac{\alpha}{2}$};
\node at (2.5,1.0) {\small$\frac{\pi}{2}{-}\frac{\alpha}{2}$};
\draw (2,1.4) arc (90:270:0.2);
\node at (1.5,3.8) {\small$\frac{\pi}{2}{-}\alpha$};
\draw (2,3.8) arc (-90:-120:0.2);
\end{tikzpicture}$

Один из двух треугольников равнобедренный. Углы $\frac{\alpha}{2}$, $\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}$ и $\frac{\pi}{2}-\alpha$ острые, прямой угол прямой, оставшийся угол тупой. То есть либо $\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}$, чего быть не может ($\alpha = \frac{\pi}{2}$), либо $\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} - \alpha$, т.е. $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 85 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group