2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Изоморфизм между полными упорядоченными полями
Сообщение28.10.2013, 21:39 
Аватара пользователя


21/09/13
57
Здравствуйте.
Подскажите, как показать, что любые два полных упорядоченных поля изоморфны между собой? (24 задача из 2 параграфа 2 главы Зорича.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм между полными упорядоченными полями
Сообщение28.10.2013, 21:45 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Ну так и постройте изоморфизм явно, сначала между целыми, потом между рациональными, а потом по полноте...

-- 28.10.2013, 20:50 --

В том смысле что, если есть линейные упорядоченные поля $\mathbb{A}_1$ и $\mathbb{A}_2$ то сразу можно произоморфить $$1_1 \to 1_2$$ $$1_1+1_1 \to 1_2+1_2$$ $$1_1+1_1+1_1 \to 1_2+1_2+1_2$$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм между полными упорядоченными полями
Сообщение28.10.2013, 21:51 
Аватара пользователя


21/09/13
57
Urnwestek в сообщении #781502 писал(а):
В том смысле что, если есть линейные упорядоченные поля $\mathbb{A}_1$ и $\mathbb{A}_2$ то сразу можно произоморфить $$1_1 \to 1_2$$ $$1_1+1_1 \to 1_2+1_2$$ $$1_1+1_1+1_1 \to 1_2+1_2+1_2$$ и т.д.

Вот непонятно как сделать это и т.д.
Согласен, что если получить изоморфизм между подмножествами натуральных чисел, то дальше легко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм между полными упорядоченными полями
Сообщение28.10.2013, 21:56 
Аватара пользователя


03/10/13
449
По индукции же. (:

-- 28.10.2013, 21:12 --

Кстати, я сейчас вспомнил, что изоморфность любых двух систем натуральных чисел (в смысле Пеано) очень хорошо и с мельчайшими подробностями доказывалась в Иванове "Элементарная математика", там 4 пункт 1 главы. Так что можете проделать это там, потом проверить выполнимость аксиом Пеано для подмножества $\{1,1+1,1+1+1,...\}$ а потом сослаться на результат, дескать натуральные числа, они-то одни.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм между полными упорядоченными полями
Сообщение28.10.2013, 22:21 
Аватара пользователя


21/09/13
57
Urnwestek в сообщении #781507 писал(а):
По индукции же. (:

Не могли бы Вы явно привести конструкцию? Считается, что еще неизвестно про натуральные числа. Как раз через полное упорядоченное поле вводят действительные числа, и натуральные числа - это наименьшее индуктивное подмножество содержащее единицу. То есть пока что имеется много разных систем действительных чисел и соответственно систем натуральных чисел. После доказательства того, что любые два таких поля изоморфны, мы сможем сказать, что такое действительные числа, а значит и что такое натуральные числа.

Спасибо за литературу. Буду читать. Она у меня даже в бумажном формате есть)

Может быть как наименьшее бинарное отношение $R$ между $R_1$ и $R_2$, такое что
$(1_1, 1_2) \in R$
$(n_1, n_2) \in R \to (n_1+1_1, n_2+1_2) \in R$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм между полными упорядоченными полями
Сообщение28.10.2013, 22:33 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Я, если честно, не совсем понимаю что вас смущает, тождество:
$\varphi (n+1_1) = \varphi(n)+1_2$
казалось бы однозначно определяет образ $\varphi$ на элементе $n+1_1$.

Доказательство того, что $\varphi$ — биекция тоже можно провести по индукции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм между полными упорядоченными полями
Сообщение28.10.2013, 22:35 
Аватара пользователя


21/09/13
57
Urnwestek в сообщении #781525 писал(а):
Я, если честно, не совсем понимаю что вас смущает, тождество:
$\varphi (n+1_1) = \varphi(n)+1_2$
казалось бы однозначно определяет образ $\varphi$ на элементе $n+1_1$.

Как доказать существование такой функции?

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм между полными упорядоченными полями
Сообщение28.10.2013, 22:43 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Какие-то вы в совсем теоретико-множественные дебри залезаете, не "алгебраично". (:
Не хочу вас сбивать с толку, сам я на таком уровне формализма доказательство не проводил, но мне кажется, что ваша конструкция:
TopLalka в сообщении #781520 писал(а):
$(1_1, 1_2) \in R$
$(n_1, n_2) \in R \to (n_1+1_1, n_2+1_2) \in R$?

вполне адекватна. Только придётся проводить доп. доказательство того, что это функция, что она определена на всём $\mathbb{N}$, что для неё выполняется как раз таки то самое $\varphi (n+1_1) = \varphi(n)+1_2$ и что это биекция. Если мы оба заблуждаемся, то, думаю, местные умные люди нас поправят. (:

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм между полными упорядоченными полями
Сообщение29.10.2013, 11:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Метод полной математической индукции в помощь.
В арифметике этот метод вводится специальной аксиомой (или схемой аксиом, если речь идёт о формальной теории в логике первого порядка), а в теории множеств является теоремой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group