Определитель

[DjD USB]

Квадратные матрицы А и В удовлетворяют условиям :
$A^2=A, B^2=B, AB=BA.$ Найти все возможные значения определителя $|A-B|$

[angor6]

DjD USB
Похоже, $\lbrace -1,~0,~1 \rbrace$...

[arseniiv]

$(A-B)(A+B) = AA-BA+AB-BB = A-B$, и дальше выводится, по-моему, всё.

[DjD USB]

arseniiv в сообщении #780960 писал(а):

$(A-B)(A+B) = AA-BA+AB-BB = A-B$, и дальше выводится, по-моему, всё.

Спасибо))

[Sonic86]

Вопрос к решившим: ЖНФ нужна или Вы как-то без нее обошлись?

[arseniiv]

arseniiv в сообщении #780960 писал(а):

и дальше выводится, по-моему, всё

Вру, наверно. Что-то не выводится.

[Sonic86]

arseniiv в сообщении #780990 писал(а):

Вру, наверно. Что-то не выводится.

У меня вывелось минут за 20, но пришлось ЖНФ приплетать.

[ewert]

$(A-B)^2=(I-2B)^2=I-4B+4B^2=I;$

$|A-B|^2=1.$

[Sonic86]

ewert, спасибо!

[arseniiv]

ewert в сообщении #781001 писал(а):

$(A-B)^2=(I-2B)^2=I-4B+4B^2=I;$

Вот оно!! Собирался же что-то с единичной делать, и всё не то…

[AV_77]

А как из $|A+B| = 1$ получается $A + B = I$?

[Sonic86]

AV_77 в сообщении #781017 писал(а):

А как из $|A+B| = 1$ получается $A + B = I$?

Никак Оно получается из $(A-B)=(A+B)(A-B)$ при $\det (A-B)\neq 0$.

[angor6]

Рискну поделиться свои мнением любителя математики в кругу профессионалов.

Нулевые матрицы $A$ и $B$ удовлетворяют условияю задачи. Отсюда появляется решение $|A-B|=0.$

Кроме того, из $A=A^2.\,$ следует, что $|A|=|A^2|=|A||A|.$ Если не иметь в виду нулевую матрицу, то тогда $|A|=1,$ а поскольку $A=A^2,$ то $A=E.$

Те же рассуждения действительны для матрицы $B.$

Отсюда, если матрицы не равны между собой, появляется решение $|A-B|=\pm 1.$ Если же $A=B=E,$ то повторяется решение $|A-B|=0.$

Может быть, я и ошибаюсь в своих рассуждениях, но мне кажется, что жорданова нормальная форма для решения задачи не нужна. И задача может быть решена без каких-либо других формул. Извините, если грубо ошибаюсь.

[AV_77]

Из того, что $A = A^2$ и $|A| = 1$ совсем не следует, что $A = E$.

[angor6]

AV_77
Действительно, Вы правы. Я зациклился на единичных и нулевых матрицах. Но если они удовлетворяют условию задачи, то множество решений $\lbrace -1,~0,~1 \rbrace$ уже имеется. Другое дело, что нужно идти дальше в поисках возможного расширения этого множества. Это главное, что я хотел написать.