2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Определитель
Сообщение29.10.2013, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
angor6
А теперь вынимаю "свое" решение из оффтопа. Возведем матрицу $A-B$ в куб. Используя свойства $A$ и $B$, получим, что $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2 -B^3=A-B$. Значит, определители этих матриц равны. Обозначим $\det(A-B)=x$, получаем, что $x^3=x$. Это уравнение имеет три корня, $-1,0,1$. Осталось привести примеры того, что все три значения возможны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель
Сообщение29.10.2013, 18:26 
Аватара пользователя


11/03/12
586
Беларусь, Минск
provincialka
provincialka в сообщении #781864 писал(а):
angor6
А теперь вынимаю "свое" решение из оффтопа. Возведем матрицу $A-B$ в куб. Используя свойства $A$ и $B$, получим, что $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2 -B^3=A-B$. Значит, определители этих матриц равны. Обозначим $\det(A-B)=x$, получаем, что $x^3=x$. Это уравнение имеет три корня, $-1,0,1$. Осталось привести примеры того, что все три значения возможны.

Изъян, по-моему, в том, что три корня появляются и без возведения в куб.

В свою очередь, я постараюсь выделить время оформлению решения, которое больше по душе мне, и выложить его на форуме. Заодно приготовлюсь к критике возможных ошибок и неточностей.

Спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель
Сообщение29.10.2013, 18:29 


03/10/06
826
Из чего следует, что должно быть три корня?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель
Сообщение29.10.2013, 18:55 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
angor6 в сообщении #781876 писал(а):
В свою очередь, я постараюсь выделить время оформлению решения, которое больше по душе мне, и выложить его на форуме.

Давайте-давайте. Своё решение всегда полезнее.
provincialka в сообщении #781864 писал(а):
Возведем матрицу $A-B$ в куб.

Идеально. Но трудно догадаться, не зная ответа заранее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель
Сообщение29.10.2013, 19:00 
Аватара пользователя


11/03/12
586
Беларусь, Минск
Nemiroff
Можно высказать гипотезу о существовании корней, рассматривая матрицы первого порядка. А потом использовать возведение в куб. Правда, логика сомнительная...

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель
Сообщение29.10.2013, 20:14 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Nemiroff в сообщении #781887 писал(а):
Идеально. Но трудно догадаться, не зная ответа заранее.
В квадрат-то на первой странице возводили. В принципе, можно было «случайно» умножить тот квадрат на $(A-B)$ ещё раз…

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель
Сообщение29.10.2013, 21:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ну, до ответа ведь все догадались в самом начале. Честно говоря, мне иногда жаль, что задачи к нам в жюри приносят вместе с решениями, чтобы быстрее оценить сложность. Хорошо бы самой порешать и оценить, но ... Но первое решение (с рассмотрением двух случаев) тоже весьма хорошее. Куб - это уж так, изыски олимпиадности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель
Сообщение30.10.2013, 13:13 
Аватара пользователя


11/03/12
586
Беларусь, Минск
Предлагаю такое решение.

Покажем, что если $A,~B$ - квадратные матрицы и $A^2=A$, $B^2=B, AB=BA,$ то определитель $|A-B|$ принимает только следующие значения: $-1,~0,~1.$

Имеем $(A-B)(A+B)=A^2-BA+AB-B^2=A^2-B^2=A-B,$ то есть
$(A-B)(A+B)=A-B.~~~~~(1)$


Возможны следующие случаи:
1) $A-B=0.$ Тогда $|A-B|=0.$ Если при этом и $A+B=0,$ то $A=B=0.$
2) $A-B\ne0,~A+B\ne 0.$ Тогда из (1) получим
$(A-B)^{-1}(A-B)(A+B)=(A-B)^{-1}(A-B),$

$E(A+B)=E,$

$A+B=E,~A-B=E-2B,$

$(A-B)^2=(E-2B)^2=E^2-4EB+4B^2=E^2-4B+4B=E^2,$

$A-B=\pm E,$

$|A-B|=\pm 1.$


Случай, когда $A-B\ne 0,~A+B=0,$ невозможен, потому что тогда $(A-B)(A+B)=(A-B)0=0.$ Согласно (1), $A-B=0.$ Получили противоречие с допущением, что $A-B\ne 0.$

Других случаев нет. Объединяя полученные значения определителя $|A-B|,$ заключаем, что задача решена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель
Сообщение30.10.2013, 13:39 


16/03/11
844
No comments
Мдаа... Я даже не думал что данная тема так " раскрутится".
P.s Извините я был занят в эти дни, мне просто не до задач было...

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель
Сообщение30.10.2013, 13:43 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
angor6 в сообщении #782132 писал(а):
2) $A-B\ne0,~A+B\ne 0.$ Тогда из (1) получим ...
Далее Вы что-то пишите и среди прочего там есть такая штука как $(A-B)^{-1}$. А существует ли эта штука?

Спрошу совсем прямо: если $X \neq 0$, то существует ли $X^{-1}$? В этом вопросе следует основательно разобраться. И потом выделить правильные случаи (я намекаю на то, что в пункте 2) то обстоятельство, что $A-B \neq 0$, не важно, а важно что-то другое; и вот про это другое и нужно честно сказать).

-- Ср окт 30, 2013 17:45:44 --

DjD USB, присоединяйтесь, задача-то вполне содержательная. Откуда Вы её взяли, кстати?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель
Сообщение30.10.2013, 13:56 
Аватара пользователя


11/03/12
586
Беларусь, Минск
nnosipov
Согласен, матрица $A-B$ должна быть обратимой. Значит, рассмотренное мной в п. 2 относится только к случаю $|A-B|\ne 0...$

Значит, нужно думать ещё...

Хотя в конце пункта 2 и получаем, что $|A-B|=\pm1\ne 0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель
Сообщение30.10.2013, 14:01 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
angor6 в сообщении #782155 писал(а):
Согласен, матрица $A-B$ должна быть обратимой.
Ну так и объявите случай 2) как тот, где матрица $A-B$ обратима --- делов-то.
angor6 в сообщении #782155 писал(а):
Значит, нужно думать ещё...
Не надо ещё думать, нужна только косметическая правка Вашего текста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель
Сообщение30.10.2013, 14:03 
Аватара пользователя


11/03/12
586
Беларусь, Минск
nnosipov
И рассмотреть дополнительно как разновидность случая 2 вариант с необратимой матрицей $A-B$? Если мы предположим, что $|A-B|=0,$ то это будет одновременно и ответом. :-)

Можно дописать:
2) $A-B\ne 0,~|A-B|=0...$ Далее по тексту.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель
Сообщение30.10.2013, 14:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #782157 писал(а):
нужна только косметическая правка Вашего текста.

ну, если под косметической понимать "стереть всё нафик"...

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель
Сообщение30.10.2013, 14:10 
Аватара пользователя


11/03/12
586
Беларусь, Минск
DjD USB
DjD USB в сообщении #782145 писал(а):
Мдаа... Я даже не думал что данная тема так " раскрутится".
P.s Извините я был занят в эти дни, мне просто не до задач было...

Каждому своё. Записанная Вами задача меня заинтересовала и я решил "заменить" Вас. :-)

-- 30.10.2013, 13:12 --

ewert
ewert в сообщении #782161 писал(а):

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #782157 писал(а):
нужна только косметическая правка Вашего текста.

ну, если под косметической понимать "стереть всё нафик"...

Думаю, достаточно добавить указание на то, что $|A-B|\ne 0.$ Иначе $|A-B|=0$ является и ответом.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 92 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group