2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Есть ли тут равносильность или что-то потеряно?
Сообщение26.10.2013, 20:30 


11/08/13
128
1) $|f(x)|\leqslant g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
 f^2(x)\leqslant g^2(x)\\ 
g(x)\geqslant 0\\
\end{matrix}\right.$

2) $|f(x)|\ge g(x) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
 f^2(x)\geqslant g^2(x)\\ 
g(x)\leqslant 0\\
\end{array}\right.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли тут равносильность или что-то потеряно?
Сообщение26.10.2013, 20:37 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм
По-моему в пункте 2 не нужно $g(x)\leqslant 0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли тут равносильность или что-то потеряно?
Сообщение26.10.2013, 20:57 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Нужно. Иначе контрпример $|3|>-5$

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли тут равносильность или что-то потеряно?
Сообщение26.10.2013, 20:59 


19/05/10

3940
Россия
Сойдет, некий нюанс в 2), там объединение не дизъюнктивное, иногда может помешать, например, в параметрах; на полпроцента правильнее написать строго меньше в нижнем неравенстве

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли тут равносильность или что-то потеряно?
Сообщение26.10.2013, 21:35 


11/08/13
128
mihailm в сообщении #780526 писал(а):
Сойдет, некий нюанс в 2), там объединение не дизъюнктивное, иногда может помешать, например, в параметрах; на полпроцента правильнее написать строго меньше в нижнем неравенстве


Спасибо! Еще 2 случая добавлю! Верно ли будет?

1) $|f(x)|\leqslant g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
 f^2(x)\leqslant g^2(x)\\ 
g(x)\geqslant 0\\
\end{matrix}\right.$

2) $|f(x)|\geqslant g(x) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
 f^2(x)\geqslant g^2(x)\\ 
g(x)< 0\\
\end{array}\right.$

3) $|f(x)|<g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
 f^2(x)< g^2(x)\\ 
g(x)> 0\\
\end{matrix}\right.$

4) $|f(x)|> g(x) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
 f^2(x)> g^2(x)\\ 
g(x)< 0\\
\end{array}\right.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли тут равносильность или что-то потеряно?
Сообщение26.10.2013, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
iifat в сообщении #780525 писал(а):
Нужно. Иначе контрпример $|3|>-5$

А как насчёт контрпримера $|5|>3$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли тут равносильность или что-то потеряно?
Сообщение26.10.2013, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
мат-ламер в сообщении #780552 писал(а):
iifat в сообщении #780525 писал(а):
Нужно. Иначе контрпример $|3|>-5$

А как насчёт контрпримера $|5|>3$ ?

Там же не система неравенств, а совокупность: скобочка слева - квадратная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли тут равносильность или что-то потеряно?
Сообщение26.10.2013, 23:59 


19/05/10

3940
Россия

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #780526 писал(а):
... не дизъюнктивное...

Дизъюнктное

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли тут равносильность или что-то потеряно?
Сообщение27.10.2013, 13:28 


11/08/13
128
Видимо, последний вариант -- верный! Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли тут равносильность или что-то потеряно?
Сообщение27.10.2013, 19:46 


11/08/13
128
А как вот тут расщепить? Можно так?

$|f(x)|\leqslant |g(x)| \Leftrightarrow f^2(x)\leqslant g^2(x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли тут равносильность или что-то потеряно?
Сообщение27.10.2013, 19:54 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Да. Возведение в квадрат неотрицательных чисел — монотонная функция.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group