вычислить параметрический несобственный интеграл

[illuminates]

Добрый день. Очень требуется помощь. Сам не смогу справится с этим интегралом.
Вообщем решал физическую задачку (рассеивание электрона на атоме водорода с заданной энергией электрона, и потенциалом, если нужно то могу подробно всё рассказать)
Дошёл до интеграла (в ответе такой же):

$$\int_{x_0}^{\infty} (e^{-4x}(32/x+32/x^2+16/x^3+4/x^4)/\sqrt{1-l^2/a^2x^2+2(1+1/x)e^{-2x}}) dx $$

параметр $ l^2/a^2$ меняется от 0.5 до 5.0 с шагом 0.5
величина $x_0$ - это корень уравнения
$1-(l^2)/(a^{2}x_0^2)+2(1+1/x_0)e^{-2x_0}=0$
корня получается два,очень приближённо в точках -1 и 2

Что-бы не быть многословным позвольте, лицезреть всю получившуюся красоту графически:
https://www.desmos.com/calculator/wtoxub6jgb
Как видно невероятно сложно нужно интегрировать, очень аккуратно подходить к особой точке. При этом точку $x_0$=-1, если я правильно всё понимаю, убираем за ненадобностью.

Вычислить аналитически - это конечно в мечтах. Нужно использовать численный метод. Можно свести интеграл к квадратурной формуле, например, Лагерра (Но у интеграла особенность на нижнем пределе, как её учесть? Резать промежуток? Что-то очень сложно). Для этого нужно менять пределы интегрирования, но подынтегральная ф-ия сильно из-за этого изменится. Ввобщем подскажите пожалуйста, не знаю как дальше быть.

[illuminates]

Принял решение упростить подынтегральное выражение проинтегрировав по частям. Но к сожалению не могу взять интеграл $1/\sqrt{1-l^2/(a^2x^2)+2(1+1/x)e^{-2x}} dx$

-- 27.10.2013, 09:13 --

также напрашивается замена во всём интеграле $y=1/x$

[mihiv]

В исходном интеграле для $x$ близких к $x_0$ разложите функцию $f(x)$ под знаком радикала в ряд Тэйлора: $f(x)= (x-x_0)(a_0+a_1(x-x_0)+\cdots)$, затем сделайте замену $x-x_0=t^2$, после этого особенность в подынтегральной функции пропадает.

[illuminates]

mihiv
посмотрите пожалуйста, разложил в ряд Тэйлора числитель и знаменатель, получил что числитель возрастающий знакочередующияся ряд.
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=taylor+series+e^%28-4x%29%2832%2Fx%2B32%2Fx^2%2B16%2Fx^3%2B4%2Fx^4%29+at+x%3D0.1337586736917337[/url]
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=taylor+series+1-0.25%281%2Fx^2%29%2B2%281%2B1%2Fx%29e^%28-2x%29+at+x%3D0.1337586736917337[/url]


Вы теперь предлагаете вынести из под корня $(x-x_0)^{1/2}$? с чем это дело сокращать?

[mihiv]

illuminates, раскладывать в ряд нужно только функцию под корнем. Пример:

$$\int \limits _{x_0}^\infty \dfrac {\exp (-x)dx}{\sqrt {(x-x_0)(1+x)}}=\int \limits _0^\infty \dfrac {2t\exp (-t^2-x_0))dt}{t\sqrt {1+t^2+x_0}}$$

Замена $x-x_0=t^2$.
Кстати, интеграл лучше разбить на два:

$$\int \limits _{x_0}^a+\int \limits _a^{\infty }$$

и замену переменной и разложение в ряд делать только в первом из них.

[Vince Diesel]

Использовать матпакет для численного нахождения интеграла не вариант?

[illuminates]

Vince Diesel
Понимаете, моя цель научится самому работать с такими вещами, что-бы в дальнейшем уметь решать задачи с которыми матпакет не справится.

[illuminates]

mihiv

спасибо большое! Всё сделал. теперь буду первый интеграл вычислять методом Симпсона, а второй с помощью квадратурной формулы Лагерра.