2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти все К
Сообщение16.10.2013, 21:37 


16/03/11
844
No comments
Найти все такие натуральные $a$, что число $3^a+5^a$ является степенью натурального числа, большей 1.

(Оффтоп)

извиняюсь, что менял условие

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все К
Сообщение17.10.2013, 01:06 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Рассмотрите сравнения по модулю 4, а затем по модулю $p$ — произвольного простого числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все К
Сообщение17.10.2013, 05:42 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
DjD USB в сообщении #776099 писал(а):
Найти все такие натуральные $a$, что число $3^a+5^a$ является степенью натурального числа, большей 1.
Пусть $3^a+5^a=m^k$, где $k>1$. Если $a$ чётно, то $3^a+5^a \equiv 2 \pmod{4}$, а $m^k \equiv 0 \pmod{4}$. Если $a$ нечётно, то $\nu_2(3^a+5^a)=3$, поэтому $k=3$. При $a>1$ из сравнения $3^a+5^a \equiv m^3 \pmod{9}$ следует, что $a$ делится на $3$, т.е. $a=3b$. Но $3^{3b}+5^{3b} \not\equiv m^3 \pmod{7}$. Итак, $a=1$ --- единственное решение.

-- Чт окт 17, 2013 09:55:20 --

Urnwestek в сообщении #776225 писал(а):
а затем по модулю $p$ — произвольного простого числа.
Что Вы имели в виду? Можете привести Ваше решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все К
Сообщение17.10.2013, 06:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Чего так сложно со сравнениями? Я по-школьному: для чётных показателей записываем симметрично относительно $4$, бином, сокращение и вынесение $2$. В скобках остаётся нечётный сомножитель. Для нечётных больших $1$ раскладываем по ФСУ. Опять $8$ и нечётный сомножитель. То есть правая часть может быть только кубом. А тогда по МТФ и слева кубы, что противоречит ВТФ.
Для первой степени получаем решение вручную. :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все К
Сообщение17.10.2013, 06:35 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
gris в сообщении #776250 писал(а):
А тогда по МТФ и слева кубы
Вот это я не понял. Как здесь малая терема Ферма работает?
gris в сообщении #776250 писал(а):
что противоречит ВТФ.
А это понятно, но хотелось без неё обойтись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все К
Сообщение17.10.2013, 07:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Забыл... Вроде бы на свежем воздухе всё получалось, а на бумаге никак :oops: Но я потом ещё подумаю, вдруг получится.
А малая теорема в другую сторону не верна? Ладно, чего-то я запутался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все К
Сообщение17.10.2013, 16:36 


16/03/11
844
No comments
nnosipov
Я почти так же решил. Только я не нашел у вас ответа, почему если a-- нечетно, то К равно 3

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все К
Сообщение17.10.2013, 18:28 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
DjD USB в сообщении #776488 писал(а):
почему если a-- нечетно, то К равно 3
Так это очевидно: если слева только 3 двойки, то чему может быть равно $k$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все К
Сообщение17.10.2013, 19:41 


16/03/11
844
No comments
nnosipov в сообщении #776532 писал(а):
DjD USB в сообщении #776488 писал(а):
почему если a-- нечетно, то К равно 3
Так это очевидно: если слева только 3 двойки, то чему может быть равно $k$?

Да, да, все понял ... Немного запутался)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group