2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Олимпиада НГУ-2013
Сообщение28.10.2013, 04:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
EtCetera в сообщении #780977 писал(а):
Но почему именно 600?

Первое круглое после 512.
ewert в сообщении #781072 писал(а):
Как-то не шибко иммер элегант

Достаточно заметить, что инъективная непрерывная функция монотонна.
Oleg Zubelevich в сообщении #781105 писал(а):
Я бы предложил ТС такую задачу

Мне порешать или студентам дать? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ-2013
Сообщение28.10.2013, 04:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
bot в сообщении #780674 писал(а):
4. У мухи один носок и одна туфелька на каждую из её шести ножек. Сколько различных порядков обувания возможно, если считать, что муха никогда не наденет туфельку на голую ногу, а носок - поверх туфельки?
Условие не запрещает мухе надеть носок поверх носка и туфельку поверх туфельки, т.е. сразу все носки и туфельки на левую переднюю ногу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ-2013
Сообщение28.10.2013, 04:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Да, это упущение. Впрочем, носок поверх носка ещё можно одеть, а туфельку поверх туфельки вряд ли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ-2013
Сообщение28.10.2013, 05:01 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
ewert в сообщении #781072 писал(а):
Попробуем добить.
bot в сообщении #780674 писал(а):
2. Существует ли непрерывная функция $f:\mathbb R\to\mathbb R$, удовлетворяющая тождеству $$f(f(x))=e^{-x}\, ?$$
Моё с другого форума.
$f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow f(f(x_1))=f(f(x_2))$, что неверно. Значит, $f(x)$ монотонна на всей числовой оси. Если она монотонно возрастает, то $f(f(x))$ возрастает; если она убывает, $f(f(x))$ всё равно возрастает. Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ-2013
Сообщение29.10.2013, 11:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск

(Оффтоп)

bot в сообщении #781140 писал(а):
Да, это упущение. Впрочем, носок поверх носка ещё можно одеть, а туфельку поверх туфельки вряд ли.

Исправленный вариант:

4. У мухи один носок и одна туфелька на каждой из её шести ножек. Сколькими различными способыми можно раздеть муху, если она не даёт снять с себя носок, если с соответствующей ноги ещё не снята туфелька?

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ-2013
Сообщение29.10.2013, 12:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск

(Оффтоп)

Клёво. Где Вы раньше были? :D
А я уже задумывался над проблемой, чем муха будет одевать последний носок, если осталась неодетой одна туфелька? ...
Лишними лапками от Аристотеля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ-2013
Сообщение02.11.2013, 10:28 


05/08/08
55
Санкт-Петербург
Цитата:
Извиняюсь, что возвращаюсь...стало интересно. Если не ошибся, то будет верно для 56 различных натуральных чисел, не больше 1000. Через попарные разности. В массиве M(1 то 999) записываем сколько раз встречается соответствующая разность. Т.е значение $M(i)$ -сколько раз встречается разность $i$. Всего пар 1540 - это будет и сумма всех элементов массива. Если существует $k:M(k) \ge 3$ все ясно. Если все $M(k) \le 2$, то будут по крайней мере 541 двойки. И если все они сформированы только из трех элементов исходного множества, то эти элементы должны образовать арифметическую прогрессию:
$\\M(i)=2\\
a-b=b-c=i\\$

Но тогда существует индекс $k>500: M(k)=2$, а разность такой прогрессии не может быть болше 500.


Извините, что возвращаюсь, но и это явно не оптимальный результат. И метод неоптимален. Для оптимума надо брать не все попарные разности, а только несколько "близких". Для примера докажу, что все верно и при 52 не более чем трехзначных числах $a_1<a_2<...<a_{52}$. Рассмотрим разности $a_{i+k}-a_i$ при $k=1,2,3,4,5$. Всего их набралось 51+50+49+48+47=245. Если хотя бы одна разность встретилась трижды, то всё ясно. Если каждая не более двух раз, то сумма рассмотренных разностей не меньше, чем $2(1+...+122)+123=123^2=15129$. Но эта сумма равна $5a_{52}+4a_{51}+3a_{50}+2a_{49}+a_{48}-a_5-2a_4-3a_3-4a_2-5a_1$, то есть заведомо меньше, чем $15a_{52}$, откуда $a_{52}>15129/15>1000$.
Противоречие.

Это тоже, скорее всего, не лучший результат, я просто метод хотел показать... (Когда-то эту задачу Эрдёш решал, кажется, так что моей заслуги в этом методе никакой нет.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group