2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 03:16 


10/09/13
97
Всю ночь решал задачи, не с кем обсудить возникшие вопросы, поэтому в какой раз обращаюсь за вашей помощью.
1) Непустое ограниченное сверху подмножество вполне упорядоченного множества $X$ имеет $sup(Y)$. Когда в данном случае может не быть максимального элемента? Я думаю, что подходит пример $[0;1)$. А более обще можно как-то сформулировать?
2) Изоморфизм и сумма множеств. Я так понимаю, что если существует изоморфизм, то существует биекция, а если существует биекция, то множества необязательно изоморфны?
С суммой вообще не понимаю - разве объединение не эквивалентно сумме? Что за манипуляции проделываются с множествами? Дорисовывается что-то, ограничивается.
Например, надо доказать, что $\mathbb{Q}+\mathbb{Q}$ изоморфны $\mathbb{Q}$, а то же самое утверждение для $\mathbb{R}+\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}$ - неверно.
Не понимаю алгоритм решения.
Есть прямая $\mathbb{Q}$, продлим её на $\mathbb{Q}$, установим биекцию между этой новой прямой $\mathbb{Q'}$ и $\mathbb{Q}$. А почему это возможно?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 05:03 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Manticore в сообщении #772292 писал(а):
если существует биекция, то множества необязательно изоморфны?
Изоморфизм — биекция, сохраняющая некую структуру, сиречь некий набор отношений.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 05:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Manticore в сообщении #772292 писал(а):
С суммой вообще не понимаю - разве объединение не эквивалентно сумме?

А что понимается под суммой множеств? Иногда объединение обозначают знаком $+$, бывает и так $A+B=\{a+b | a\in A, b\in B\}$ - это если $ A$ и $ B$ являются подмножествами некоторого множества, в котором определена операция $+$. Ещё бывает декартова сумма.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 07:12 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
bot в сообщении #772307 писал(а):
Ещё бывает декартова сумма
Вроде не встречал её обозначения простым плюсом, хотя не поручусь. Плюс в круге, произведение, произведение в круге...
В любом случае, последние три строки ТС совершенно не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 15:04 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Manticore в сообщении #772292 писал(а):
1) Непустое ограниченное сверху подмножество вполне упорядоченного множества $X$ имеет $sup(Y)$. Когда в данном случае может не быть максимального элемента? Я думаю, что подходит пример $[0;1)$. А более обще можно как-то сформулировать?
Что именно сформулировать — когда множество имеет супремум и не имеет максимума? Когда супремум ему не принадлежит. Или не так понял вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 19:47 


10/09/13
97
iifat в сообщении #772303 писал(а):
Изоморфизм — биекция, сохраняющая некую структуру, сиречь некий набор отношений.

А в чём отличие от биекции? Т.е. есть пример биекции, не сохраняющей структуру?
bot в сообщении #772307 писал(а):
А что понимается под суммой множеств? Иногда объединение обозначают знаком $+$, бывает и так $A+B=\{a+b | a\in A, b\in B\}$ - это если $ A$ и $ B$ являются подмножествами некоторого множества, в котором определена операция $+$. Ещё бывает декартова сумма.

Вот определение:
$(x_1, <_1) + (x_2, <_2)$
$x:=x_1 \sqcup x_2= x_1 \times \{0\} \cup x_2 \times \{1\}=\{<x_1, 0>\} \cup \{x_2, 1>\}$
Так же мне объясняли на примере задания: Почему $\mathbb{Q}+1$ не изоморфно $\mathbb{Q}$
Переписали как $\mathbb{Q} + \{1\}$, сказали, что давайте вот построим биекцию, и получится, что "справа от единицы ничего нет и некуда отображать". Я правда не понимаю, откуда это берётся.
arseniiv в сообщении #772479 писал(а):
Что именно сформулировать — когда множество имеет супремум и не имеет максимума? Когда супремум ему не принадлежит. Или не так понял вопрос.

Нет, Вы правильно поняли. Я не понимаю, как обосновать это утверждение - просто привести пример? А почему тогда при других условиях такого не может быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 20:03 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Manticore в сообщении #772629 писал(а):
есть пример биекции, не сохраняющей структуру?
Отображение $x\to2x$ проводит биекцию между отрезками $(0;1)$ и $(0;2)$ и сохраняет порядок. Отображение $x\to (2x+1) \bmod 2$ тоже осуществляет биекцию, но не сохраняет порядок.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 20:07 


10/09/13
97
Aritaborian
Ну а, скажем, для двух колец изоморфизм - это просто биекция?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Так у вас складываются не множества, а порядки на них?
Manticore в сообщении #772629 писал(а):
Вот определение:
$(x_1, <_1) + (x_2, <_2)$
$x:=x_1 \sqcup x_2= x_1 \times \{0\} \cup x_2 \times \{1\}=\{<x_1, 0>\} \cup \{x_2, 1>\}$

В определении принято объяснять, что означают все использованные значки. Мои предположения. $x_1, x_2$ - некоторые множества, на которых заданы порядки $<_1, <_2$. Кстати, эти порядки какие - линейные?

$x$ - то ли просто множество, то ли какая-то заданная на множестве структура (?) Больше похоже на множество. А $\times$ - это декартово умножение? Дальше написаны угловые и фигурные скобки, это вообще непонятно.

И причем тут отношения порядка, которые были заданы на $x_1, x_2$? По идее, на их основе должно было строиться какое-то отношение на $x$.
А для какого отображения проверять биективность? Изоморфизм?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Aritaborian в сообщении #772640 писал(а):
Отображение $x\to2x$ проводит биекцию между отрезками $(0;1)$ и $(0;2)$ и сохраняет порядок. Отображение $x\to (2x+1) \bmod 2$ тоже осуществляет биекцию, но не сохраняет порядок.

Не совсем так. В образе не содержится точка 1, но содержится 0. Надо подправить: например, заменить интервалы полуинтервалами (включить 0).

-- 08.10.2013, 20:19 --

Manticore в сообщении #772645 писал(а):
Aritaborian
Ну а, скажем, для двух колец изоморфизм - это просто биекция?

Нет, конечно! Сумма должна переходить в сумму, а произведение - в произведение.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 20:26 


10/09/13
97
provincialka
Дело в том, что я вообще не понимаю само определение. Но порядки $<_1, <_2$ линейные.
И не понимаю, что требуется.

provincialka в сообщении #772653 писал(а):
Не совсем так. В образе не содержится точка 1, но содержится 0. Надо подправить: например, заменить интервалы полуинтервалами (включить 0).

И вот этот пример вроде понятен, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 20:28 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Manticore в сообщении #772629 писал(а):
А в чём отличие от биекции? Т.е. есть пример биекции, не сохраняющей структуру?
Конечно. Например, вот возьмём множество $A = \{0, 1\}$ и множество $B = \{-1, 1\}$. Между ними есть две биекции, но ни одна из них — не изоморфизм между $(A, \cdot)$ и $(B, \cdot)$ (с умножением).

Биекция — это изоморфизм «голых» множеств, без дополнительных отношений или операций на них.

Manticore в сообщении #772629 писал(а):
Нет, Вы правильно поняли. Я не понимаю, как обосновать это утверждение - просто привести пример?
Пусть у линейно упорядоченного множества $A$ есть $\sup A = a$. Можно показать, что если у него есть максимум, он равен супремуму, и из этого следует $a\in A$. Значит, если $a\notin A$, максимум не может быть равен супремуму, и, значит, максимума у $A$ нет.

Manticore в сообщении #772629 писал(а):
А почему тогда при других условиях такого не может быть?
Ээ… не совсем понятно. Если из другого условия следует приведённое, то из него следует и несуществование максимума при имеющемся супремуме. Например, если множество — интервал, то супремум ему не принадлежит, и максимума у него нет. Или если множество — бесконечное подмножество натуральных чисел, тоже. Можно много всякого напридумывать, но эти условия не будут необходимыми.

-- Вт окт 08, 2013 23:36:38 --

Manticore в сообщении #772629 писал(а):
Вот определение:
$(x_1, <_1) + (x_2, <_2)$
$x:=x_1 \sqcup x_2= x_1 \times \{0\} \cup x_2 \times \{1\}=\{<x_1, 0>\} \cup \{x_2, 1>\}$
Кажется, его надо передописать так:
$(x_1, <_1) \sqcup (x_2, <_2) = (x_1 \times \{0\} \cup x_2 \times \{1\}, <)$, где
$(a, b) < (a', b') = b < b' \vee b = b' \wedge ((b = 0 \to a <_1 a') \vee (b = 1 \to a <_2 a'))$, т. е. $<$ — лексикографический порядок, по которому все элементы $(a,0)$ идут раньше элементов $(a,1)$. (Такое определение выглядит разумнее всего для такого дизъюнктного объединения с участием порядка.)

То, что вы писали дальше с угловыми скобками, можно и не писать. Если же писать, правильным будет равенство $x_1 \times \{0\} \cup x_2 \times \{1\} = \{(a,0):a\in x_1\}\cup\{(a,1):a\in x_2\}$.

UPD. Исправил определение порядка.

-- Вт окт 08, 2013 23:45:15 --

(Нигде не напортачил?)

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 20:58 


10/09/13
97
arseniiv
С изоморфизмом и супремумом вроде разобрался.
А вот с порядком - не очень.
Вот например $\mathbb{Q} + \mathbb{Q}$
Нужно записать это как $\mathbb{Q}\times \{0\} \cup \mathbb{Q} \times \{1\}$? Но ведь это бессмысленная запись?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 21:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Manticore в сообщении #772682 писал(а):
Нужно записать это как $\mathbb{Q}\times \{0\} \cup \mathbb{Q} \times \{1\}$? Но ведь это бессмысленная запись?

Почему бессмысленная? Нормальная запись. Элементами этого множества будут пары $(q,0)$ и $(q,1)$. Можно сказать, что в него входят по два экземпляра каждого рационального числа. Причем они пронумерованы.

Дело не в этом, а в том, что по смыслу задания в этом множестве нужно ввести некоторый порядок между элементами, о котором вам говорил arseniiv. Он предложил "расположить" два экземпляра множества $\mathbb Q$ друг за другом.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛУМ, изоморфизм и сумма
Сообщение08.10.2013, 21:34 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
(Извините за повторения, сообщение долго писалось.)
(Стоп! Почему у вас то $+$, то $\sqcup$? Это одно и то же? Видимо, $\sqcup$ — это дизъюнктное объединение, а $+$ — это уже и с участием порядков? Тогда у меня получается некорректная запись, ну ладно.)

С чего бессмысленная? Она соответствует определению. Получится множество $\mathbb Q\times \{0, 1\}$ с порядком, описанным выше. Это интуитивно выглядит как склеивание двух рациональных прямых на бесконечности, одна слева от другой.

Давайте лучше про
Manticore в сообщении #772629 писал(а):
Так же мне объясняли на примере задания: Почему $\mathbb{Q}+1$ не изоморфно $\mathbb{Q}$
Переписали как $\mathbb{Q} + \{1\}$, сказали, что давайте вот построим биекцию, и получится, что "справа от единицы ничего нет и некуда отображать". Я правда не понимаю, откуда это берётся.
и про
Manticore в сообщении #772292 писал(а):
Например, надо доказать, что $\mathbb{Q}+\mathbb{Q}$ изоморфны $\mathbb{Q}$, а то же самое утверждение для $\mathbb{R}+\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}$ - неверно.
Не понимаю алгоритм решения.

Первое: $(\mathbb Q,<)+\{1\}$ ($\mathbb Q+1$ выглядит странновато, если только у вас лекция была не по теории множеств и представлении натуральных чисел множествами) действительно не изоморфно $(\mathbb Q, <)$ (дальше порядок буду опускать, так обычно и делается — может, потому вы немного смешались в различии биекции и изоморфизма). Если взять рациональное число, для него всегда найдётся число больше него; если же взять элемент из $\mathbb Q+\{1\}$, то не всегда: возьмём $(1, 1)$ — больше него ничего нет, оно по построению получается максимумом. А у $\mathbb Q$ максимума нет. Можно быстро доказать, что изоморфизм упорядоченных множеств «сохраняет максимум» — если $(A,<)\sim(A',<')$, то $\exists\max\limits_< A \Leftrightarrow \exists\max\limits_{<'} A'$ (это неформальная запись, конечно). А раз у нас у одного множества есть максимум, а у другого — тю-тю, изоморфизма между ними нет.

Почему $\mathbb R+\mathbb R\not\sim\mathbb R$? Вы знаете, что $\mathbb R$ равномощно множеству $(0; +\infty)$. Оно так же изоморфно ему с порядком (ограничением обычного порядка $<$ на $\mathbb R$ на этот интервал), изоморфизмом будет, например, экспонента. А ещё изоморфно $(-\infty; 0)$. Значит, $\mathbb R+\mathbb R\sim\mathbb R\setminus\{0\}$. В нём есть дырка, которую можно заполнить, а в $\mathbb R$ таких дырок нет. Но это вообще не доказательство, а только иллюстрация, потому что если мы провалились с одним изоморфизмом, может существовать какой-то другой. (Но здесь никакого не будет.) Напротив, $\mathbb Q+\mathbb Q\sim\mathbb Q$, потому что при склеивании двух $\mathbb Q$ таких различительных дырок не получается. В общем, тут кто-нибудь топологически всё распишет, надеюсь, а я пас. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 55 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group