2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Аналитич. геометрия.
Сообщение05.10.2013, 13:28 
Аватара пользователя


30/05/11
205
СПб
Есть 3 задачи, в последних двух -- хотелось бы до конца понять условие, а в первой выяснить -- верно ли решено. Помогите, пожалуйста, разобраться.

1) Написать канонич. уравнение гиперболы, если $2c=8$ и расстояние между директрисами $=6$.

Получается так $2c=2ae=8\Rightarrow c=ae=4$

Решая систему уравнений из $\dfrac{a}{e}=3$ и $ae=4$ получаем $a=2\sqrt{3}$

$c^2=a^2+b^2 \Rightarrow 4^2=12+b^2 \Rightarrow b=2$

$\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{4}=1$

Верно?

2) Написать канонич уравнение гиперболы, если $y=\pm 0,5 a\cdot c\cdot x;\;\;\;M=(8;2\sqrt{3})$

Это асимптоты выписаны? А что за точка $M$?

3) Найти геометрическое место точек $\{M\}$:

$\dfrac{|MF|}{d(M,l)}=2\;\;\;\;\;\;\;\;l:x=1$

Я понимаю, что $|MF|$ -- расстояние между точками $M$ и $F$.

$d(M,l)$ -- расстояние от точки $M$ до прямой $l$.

С чего тут начать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитич. геометрия.
Сообщение05.10.2013, 14:20 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
3) Начать с выражения расстояний через координаты $x,y$ неизвестной точки, лежащей на кривой.
Ваш Капитан Очевидность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитич. геометрия.
Сообщение05.10.2013, 14:47 
Аватара пользователя


30/05/11
205
СПб
iifat в сообщении #770930 писал(а):
3) Начать с выражения расстояний через координаты $x,y$ неизвестной точки, лежащей на кривой.
Ваш Капитан Очевидность.


Спасибо. Пусть $M(x,y)\;\;\;F(x_0,y_0)$

$|MF|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$

$d(M,l)=|x-1|$

$\dfrac{|MF|}{d(M,l)}=\dfrac{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}{|x-1|} =2

${(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=4(x-1)^2$

$(x-x_0)^2-(2x-2)^2+(y-y_0)^2=0$

$(x-x_0-2x+2)(x-x_0+2x-2)+(y-y_0)^2=0$

$(3x-x_0-2)(-x-x_0+2)++(y-y_0)^2=0$

Раскрывая скобки, приводя подобные, получим:

$-3x^2-2x_0x+8x+x_0^2-4+(y-y_0)^2=0$

Верно? А как дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитич. геометрия.
Сообщение05.10.2013, 15:26 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Ну, можно погуглить "Канонический вид кривой второго порядка", например. Нагуглите вот это, и много чего ещё полезного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитич. геометрия.
Сообщение05.10.2013, 15:31 
Аватара пользователя


30/05/11
205
СПб
iifat в сообщении #770958 писал(а):
Ну, можно погуглить "Канонический вид кривой второго порядка", например. Нагуглите вот это, и много чего ещё полезного.

Спасибо. А разве вид кривой второго порядка не будет зависеть от того -- что за точка $(x_0;y_0)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитич. геометрия.
Сообщение05.10.2013, 16:12 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Что вы имеете в виду под видом? Конкретная кривая, разумеется, будет. Обобщённый вид — ну, я бы сказал, гипербола с фокусами на горизонтали либо на вертикали в зависимости от точки, либо пара прямых, поскольку $x^2$ и $y^2$ в уравнении с разными по знаку и ненулевыми коэффициентами, а $xy$ отсутствует. Это зависимость вида? Конкретнее можно сказать, если привести к каноническому виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитич. геометрия.
Сообщение05.10.2013, 16:28 
Аватара пользователя


30/05/11
205
СПб
$-3x^2-2x_0x+8x+x_0^2-4+(y-y_0)^2=0$

$-(3x^2+2(x_0-4)x)+x_0^2-4+(y-y_0)^2=0$

$-(3x^2+2(x_0-4)x+(x_0-4)^2-(x_0-4)^2)+x_0^2-4+(y-y_0)^2=0$

$-\left(3x^2+2\sqrt{3}x\cdot \frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}+\left(\frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2-\left(\frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2\right)+x_0^2-4+(y-y_0)^2=0$

$-\left(\sqrt{3}x- \frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2\right)+x_0^2-4+(y-y_0)^2=0$

$(y-y_0)^2-\left(\sqrt{3}x- \frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2=4-x_0^2-\left(\frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2\right)$

$(y-y_0)^2-\dfrac{\left(3x- (x_0-4)\right)^2}{3}=4-x_0^2-\left(\frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2\right)$

$(y-y_0)^2-\dfrac{\left(x- \frac{(x_0-4)}{3}\right)^2}{\frac{1}{3}}=4-x_0^2-\left(\frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2\right)$

$\dfrac{(y-y_0)^2}{4-x_0^2-\left(\frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2\right)}-\dfrac{\left(x- \frac{(x_0-4)}{3}\right)^2}{\frac{1}{3}\left(4-x_0^2-\left(\frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2\right)\right)}=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитич. геометрия.
Сообщение05.10.2013, 17:31 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Замечательно. Теперь ещё вспомнить, что $4-x_0^2-\left(\frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2\right)$ может оказаться нулём — и, в общем-то, всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитич. геометрия.
Сообщение05.10.2013, 18:36 
Аватара пользователя


30/05/11
205
СПб
iifat в сообщении #770995 писал(а):
Замечательно. Теперь ещё вспомнить, что $4-x_0^2-\left(\frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2\right)$ может оказаться нулём — и, в общем-то, всё.


Спасибо, а если эта штука равна нулю, тогда получатся 2 прямые вот такие?

$y=y_0\pm\left(\sqrt{3}x- \frac{x_0-4}{\sqrt{3}}\right)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитич. геометрия.
Сообщение05.10.2013, 19:13 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Натурально. Ну, может, стоило б найти эти $x_0$ и подставить.

-- 06.10.2013, 03:17 --

Кстати говоря, а эта штука действительно обращается в нуль где-нить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитич. геометрия.
Сообщение05.10.2013, 20:03 
Аватара пользователя


30/05/11
205
СПб
iifat в сообщении #771033 писал(а):
Натурально. Ну, может, стоило б найти эти $x_0$ и подставить.

-- 06.10.2013, 03:17 --

Кстати говоря, а эта штука действительно обращается в нуль где-нить?


Спасибо! При $x=1$ =)

-- Сб окт 05, 2013 21:05:01 --

А про первые 2 задачи можете чего-нибудь сказать, пожалуйста!

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитич. геометрия.
Сообщение06.10.2013, 03:27 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
1) У вас в конце эллипс, а не гипербола. Сразу и не заметил. В остальном — похоже на правду, хотя формулы наизусть не помню, а по справочникам лезть или выводить — простите, лень.
2) Похоже, асимптоты, ничего другого предположить не могу. M, видимо, одна из точек, лежащих на гиперболе — асимптот недостаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитич. геометрия.
Сообщение09.10.2013, 12:46 
Аватара пользователя


30/05/11
205
СПб
iifat в сообщении #771252 писал(а):
1) У вас в конце эллипс, а не гипербола. Сразу и не заметил. В остальном — похоже на правду, хотя формулы наизусть не помню, а по справочникам лезть или выводить — простите, лень.
2) Похоже, асимптоты, ничего другого предположить не могу. M, видимо, одна из точек, лежащих на гиперболе — асимптот недостаточно.

Спасибо!

Про 2)

Уравнения асимптот $y=\pm 0,5 a\cdot c\cdot x$

А в общем случае есть такое уравнение асимптот гиперболы $\dfrac{y}{b}=\pm \dfrac{x}{a}$

или, домножив на $b$, получим $y=\pm \dfrac{bx}{a}$.

Тогда, имеем $0,5 a\cdot c\cdot x=\dfrac{bx}{a}$ или $ a^2\cdot c=2b$

Это одно соотношение на $a,b,c$

Есть еще одно $c^2=a^2+b^2$

И третье получим через точку $M$

$\dfrac{64}{a^2}-\dfrac{12}{b^2}=1$

Решив систему из трех уравнений -- получим $a,b,c$, верно?

$\left\{\begin{matrix}
a^2\cdot c=2b\\ 
c^2=a^2+b^2\\ 
\frac{64}{a^2}-\frac{12}{b^2}=1\\
\end{matrix}\right.$

Только там у меня получается жуткое уравнение методом исключения:

$(b^2+12)^3=1024b^4(b^2+76)$

Которое не представляю -- как решать аналитически, а вольфрамальфа выдает $b=0,38948$

Реально ли его решить аналитически? Верно ли была составлена система?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group