Отношения вложения

[Manticore]

Уже обращался к вам с подобным вопросом, но всё равно возникают новые.
Функция из $B$ в $C$ - инъекция. Нужно доказать, что если $A$ не пусто, то функция из $A^B$ в $A^C$ тоже инъекция.
Не могу понять, возможно ли это, если $B$ не эквивалентно $C$
А вообще делал так:
$\varphi: B \rightarrow C$
$\varphi(b_1)=\varphi(b_2) \Leftrightarrow b_1=b_2$

$\eta: f \rightarrow f \circ \varphi $
Тогда пусть $\eta(f_1)=\eta(f_2), f_1 \neq f_2$
$f_1\circ \varphi = f_2\circ \varphi$
$\varphi$ - инъекция, значит, $f_1=f_2 \Rightarrow \eta$ - инъекция.
Верно ли это?

И, может быть, вам несложно будет посоветовать книги, где можно поподробнее почитать об отображениях и о том, как решать такие задачи? Вроде стараюсь, а получается всё равно плохо.

[Someone]

(Оффтоп)

Я не понял, зачем Вы начали новую тему. Можно продолжать обсуждение в старой: http://dxdy.ru/topic76191.html.

[provincialka]

Не описано, как строится функция из $A^B$ в $A^C$. Судя по вашим записям, вы строите ее неправильно.

[Manticore]

Someone
Я писал модератору, чтобы удалили ту тему, т.к. думал переписать и задать другой вопрос. Думал, её уже нет. Извините.
provincialka
В таком случае, я даже не знаю, с чего начать.

Поскольку Manticore создал новую тему, то для предотвращения дублирования обсуждения тема «Инъекция» закрыта. Если есть необходимость в обсуждении, пожалуйста, напишите ЛС Deggial. Я, надеюсь, он откроет.

[provincialka]

Уточните, что такое у вас $f$, откуда и куда она действует? И что означает равенство функций.
Вообще-то, имея функцию $\varphi: B\to C$, легче построить функцию из $A^C$ в $A^B$, а не наоборот.

-- 29.09.2013, 14:49 --

Пока что ваша задача звучит примерно так: "Килограмм сахара стоит 32 р., сколько стоит 10 кг картошки?"

[Manticore]

provincialka
$f: C \rightarrow A$
Равенство функций - это когда совпадают области определений, и равенство $f(x)=g(y)$ верно для любого $x$?

provincialka в сообщении #769021 писал(а):

Вообще-то, имея функцию $\varphi: B\to C$, легче построить функцию из $A^C$ в $A^B$, а не наоборот.

Извините, но если это можно доказать инъективность в обе стороны, не будет ли это означать, что они равномощны, т.е. существует биекция?

[Someone]

Я и в той теме спрашивал у Вас, о какой именно функции из $A^B$ в $A^C$ идёт речь, и здесь вынужден спросить о том же. Инъективность какой именно функции нужно доказывать?

[Manticore]

Someone
Если честно, я не особо это понимаю.
Пытался понять на примере функций, который сопоставляют положительным и отрицательным числам буквы. Я это понял как то, что надо установить соответствие между числами, ну а для данной задачи - это функция $B \rightarrow C$, но я уверен, что это неверно.

[Someone]

Ну, я, применив недюжинные телепатические способности, понял задачу так. Имеется некоторое инъективное отображение $f\colon B\to C$. По нему каким-то образом определяется отображение $\varphi_f\colon A^B\to A^C$. Требуется доказать, что $\varphi_f$ тоже инъективно. Но Вы не указали, как это $\varphi_f$ определяется. Однако при телепатии очень много помех, поэтому велика вероятность, что я понял неправильно.
Разъясняйте условие.

[Manticore]

Someone
Извините, если я Вас неправильно понимаю, но вот всё условие:
"Докажите, что если существует инъекция из $B$ в $C$, то существует инъекция из $B^A$ в $C^A$ (это я доказал). Кроме того, если $A$ - не пусто, то функция из $A^B$ и $A^C$ тоже инъективна".
Как определить эту функцию - я не знаю.

[provincialka]

Может, эта нужная функция тоже "существует"?
Рассмотрим на примере. Пусть $B=\{0;1\},C=\{2;3;4\},\varphi(0)=2,\varphi(1)=3,\varphi$ - инъекция. Тогда $f$ из $A^B$ задается парой $f(0),f(1)$, а $g\in A^C$ - тройкой $g(2),g(3),g(4)$ элементов из $A$.
В условии говорится о некоем отображении, переводящем $f$ в $g$.

С помощью $\varphi$ можно перевести $g$ в $f=g\circ\varphi$, при этом $f(0)=g(2);f(1)=g(3)$. Но это отображение не будет инъекцией, так как $g(4)$ произвольно.

В силу инъективности, можно и по $f$ построить $g=f\circ \varphi^{-1}$, но она определена только на $f(B)$.

Получается, что для инъективности построенных отображений требуется биективность $\varphi$.

-- 29.09.2013, 19:06 --

Впрочем, здесь существует отображение, переводящее $f$ в $g$, являющееся инъекцией. Достаточно всем $g$ придать какое-нибудь конкретное значение $g(4)$

[Manticore]

provincialka
Т.е. ключевой момент в том, что нужная нам функция определена только на $f(B)$?

[provincialka]

Ну почему только? Мы же сами ее строим, можем сделать и по-другому. Лучше сказать, что таким способом можно построить используя $f$, функцию на $f(B)$ и продолжить ее некоторым образом на все $C$.

[Manticore]

provincialka
Получается ли у нас функция $h: f \rightarrow f\circ \varphi^{-1}$?

[provincialka]

У кого "получается"? Какой-то у вас странный язык. Скажу точнее.

Имея инъективное преобразование $\varphi:B\to C$ можно построить инъективное отображение из $A^B\to A^C$ следующим образом. Для произвольной функции $f\in A^B$ функция $g\in A^C$ задается так.
Для $c\in \varphi(B), g(c)=f(\varphi^{-1}(c))$, а для остальных $c, g(c)=a_0,a_0\in A$