Интересная особенность множителей числа-2

[megamix62]

Взял http://dxdy.ru/post568521.html#p568521"
Оно должно звучать так: "Для любых нечётных $p$ и $q$ найдутся такие $a$ и $b$, что $pq=a^2-b^2$ ". В таком виде это утверждение тривиально.

А такое утверждение
"Для любого $a$ найдутся такие $p,q$ и $b$ ,что $pq=a^2-b^2$ , причем $p,q$ - простые."

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

megamix62 в сообщении #768709 писал(а):

"Для любого $a$ найдутся такие $p,q$ и $b$ ,что $pq=a^2-b^2$ , причем $p,q$ - простые."

Как насчёт $a=1$?

[provincialka]

Утверждение можно сформулировать еще так: для любого $a$ (больше 1?) можно подобрать число $b$ так, что оба числа $a-b, a+b$ будут простыми. То есть всякое число стоит посередине между некоторыми простыми.

[VAL]

provincialka в сообщении #768730 писал(а):

Утверждение можно сформулировать еще так: для любого $a$ (больше 1?) можно подобрать число $b$ так, что оба числа $a-b, a+b$ будут простыми. То есть всякое число стоит посередине между некоторыми простыми.

???
Возьмем $a=2$...

[provincialka]

Я не знаю, верно ли это утверждение. Кстати, не сказано, что $b>0$, так что можно взять $b=0$, тогда $p=q=2$.

[ИСН]

provincialka в сообщении #768730 писал(а):

всякое число стоит посередине между некоторыми простыми

Это гипотеза Гольдбаха.

[VAL]

provincialka в сообщении #768743 писал(а):

Я не знаю, верно ли это утверждение. Кстати, не сказано, что $b>0$, так что можно взять $b=0$, тогда $p=q=2$.

Ну, если нуль можно брать...
А то я уже тройку в качестве следующего контрпримера заготовил

Если же положить $a>3$ и $b$ натурально...
Похоже, что утверждение верно. Но очень сомневаюсь, что доказано.
Уж больно оно "гольдаховщиной" попахивает...

Так что, возможно, модератор поторопился, переместив тему из "Общих вопросов" в "Помогите решить".

А может, я чего-го простого не вижу и сейчас умные люди придут, помогут.

-- 28 сен 2013, 20:12 --

Ну да, равносильность гипотезе Гольдбаха очевидна.

[megamix62]

megamix62 в сообщении #768709 писал(а):

Взял http://dxdy.ru/post568521.html#p568521"
Оно должно звучать так: "Для любых нечётных $p$ и $q$ найдутся такие $a$ и $b$, что $pq=a^2-b^2$ ". В таком виде это утверждение тривиально.

А такое утверждение
"Для любого $a>6$ найдутся такие $p,q$ и $b$ ,что $pq=a^2-b^2$ , причем $p,q$ - простые."

уточнил - Для любого $a>6$



$5 \cdot 23=58^2-57^2$

[provincialka]

Да это не важно, раз все сводится к гипотезе Гольдбаха.

[vorvalm]

megamix62 в сообщении #768758 писал(а):

уточнил - Для любого $a>6$

Почему? $21=25-4$

[megamix62]

provincialka в сообщении #768761 писал(а):

Да это не важно, раз все сводится к гипотезе Гольдбаха.

из равенства вытекает, что для любого простого $p>3$ всегда найдутся $p_1,p_2$ - простые числа, что
$2p=p_1+p_2$

[vorvalm]

megamix62 в сообщении #770907 писал(а):

для любого простого $p>3$ всегда найдутся $p_1,p_2$ - простые числа, что
$2p=p_1+p_2$

Это урезанная проблема Гольдбаха.