2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9  След.
 
 Re: неравноточные измерения
Сообщение04.10.2013, 19:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Нет, дисперсия $y_i$ не единица. Чтобы сосчитать дисперсию, отделите в числителе $x_i$ от остальных $x_j$ - множитель при нём будет $(1-w_i)$, где $w_i$ - множитель при $x_i$ в $\hat a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравноточные измерения
Сообщение04.10.2013, 20:05 


27/10/09
600
Если я правильно Вас понимаю, то при $w_i=\frac{1}{\sigma_i^2} \Big/ \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{\sigma_j^2}$ величина $y_i=\frac{x_i-\hat{a}}{\sigma_i}(1-w_i)$ подчиняется нормальному распределению с центром 0 и стандартом 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравноточные измерения
Сообщение04.10.2013, 20:16 


23/12/07
1757
--mS--
Спасибо, что не потрудились все это разобрать и изложить доказательство (для меня совсем не очевидное. Может, поэтому я и не понимал, о чем вы ведете речь, полагая, что все должно быть сразу видно из примера). Попробую на свежую голову разобрать. Но при прочтении у меня сразу возник вопрос: вы определяете два класса несмещенных оценок $ K_0$, $ \tilde{K_0}$ параметра $a$ для семейств распределений, соответственно:

$\mathcal{P} = \big\{\mathcal{N}(a,\sigma^2)\otimes \mathcal{N}(a,\gamma\sigma^2) \mid a\in\mathbb{R}, \sigma \geq 0 \big\}$, где $\gamma$ - некоторая известная константа.

$\Tilde{\mathcal{P}} = \big\{\mathcal{N}(a,\sigma_0^2 + \sigma_1^2)\otimes \mathcal{N}(a,\sigma_0^2 + \sigma_2^2) \mid a\in\mathbb{R}, \sigma_0 \geq 0 \big\}$, где $\sigma_1, \sigma_2$ - некоторые известные константы.

И говорите, что $ \tilde{K_0} \subset  K_0$. Но разве это так? Ведь семейства $\mathcal{P}, \Tilde{\mathcal{P}}$ не подчинены друг другу множественным отношением включения, поскольку, например,

$\mathcal{N}(a,\sigma_1^2/2)\otimes \mathcal{N}(a,\gamma \sigma_1^2/2)\, \in \mathcal{P}$, но $ \not \in \Tilde{\mathcal{P}}$

$\mathcal{N}(a,t^2 + \sigma_1^2)\otimes \mathcal{N}(a, t^2 + \sigma_2^2)\, \in \Tilde{\mathcal{P}}$, но $\not \in \mathcal{P}$ при $t^2 \neq (\gamma\sigma_1^2 -  \sigma_2^2)/(1-\gamma).$

 Профиль  
                  
 
 Re: неравноточные измерения
Сообщение04.10.2013, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Извините, _hum_, я считаю, что и без того потрудилась безо всякой пользы для себя, разобрав для Вас и без того очевидный мне результат, изложенный у Лемана. Потрудитесь теперь и Вы без меня. Ерунду, простите, какую-то несёте. При чём тут какие-то отношения включения параметрических семейств распределений? Множество случайных величин, являющихся борелевскими функциями от данных с.в. $X$ и $Y$ и имеющих математическое ожидание, тождественно равное $a$, не может измениться от изменения каких-то обозначений каких-то буковок. Вся разница в этих семействах лишь в том, что в первом $\gamma$ известно, во втором - является неизвестным параметром вместе с (вместо) $\sigma_0^2$. И множества значений параметров (т.е. дисперсий) сужены. Всё, больше я сюда не пишу. Бессмыслица какая-то вместо реальных попыток разобраться.

-- Сб окт 05, 2013 01:22:49 --

AndreyL в сообщении #770721 писал(а):
Если я правильно Вас понимаю, то при $w_i=\frac{1}{\sigma_i^2} \Big/ \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{\sigma_j^2}$ величина $y_i=\frac{x_i-\hat{a}}{\sigma_i}(1-w_i)$ подчиняется нормальному распределению с центром 0 и стандартом 1.

Нет, Вы неправильно понимаете. Вы выше сформулировали предположение: величина $y_i=\frac{x_i-\hat a}{\sigma_i}$ имеет стандартное нормальное распределение. Это предположение неверно: сосчитайте дисперсию, выделив независимые слагаемые в числителе, и убедитесь, что она не единичная.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравноточные измерения
Сообщение04.10.2013, 21:57 


23/12/07
1757
--mS-- в сообщении #770747 писал(а):
Ерунду, простите, какую-то несёте. При чём тут какие-то отношения включения параметрических семейств распределений?

При том, что если $\mathcal{P}^1$ не является подмножеством $ \mathcal{P}^2$, то утверждать, что

$K_0^1 = \{g \mid \int g\, dP_\theta = \theta \text{ для всякого }  P_\theta \in  \mathcal{P}^1 \}$

содержит в себе

$K_0^2 = \{g \mid \int g\, dP_\theta = \theta \text{ для всякого }  P_\theta \in  \mathcal{P}^2 \} $

некорректно. А вы именно так и поступаете:
--mS-- в сообщении #770656 писал(а):
Неизвестность $\sigma_0$ всего лишь означает, что класс $K_0$ уменьшился

Причем используете это потом в дальнейшем, апеллируя к тому, что в новом $K_0$ не могло появиться новой более хорошей оценки, чем $a^*$.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравноточные измерения
Сообщение05.10.2013, 18:03 


23/12/07
1757
--mS--
Вы просто очень неаккуратно написали, потому и возникло недопонимание.

(Оффтоп)

А потом в свойственной вам манере отношения к недопонимающим как злонамеренно вас троллящих, предпочли ретироваться, проявив тем самым чванство по отношению к собеседнику.

Итак, насколько я понял, идея была использовать нечто аналогичное решению задачи 2.10 из Лемана, для которого в свою очередь предлагалось использовать факт из примера 2.3 $(iii)$ :

для всякого фиксированного $\gamma \geqslant 0$ рассмотрим семейство выборочных (для случая $m=1, n=1$) распределений
$$\mathcal{P}^{(\gamma)} = \big\{\mathcal{N}(a,\sigma^2)\otimes\mathcal{N}(a,\gamma \sigma^2)\mid a\in\mathbb{R}, \sigma \geq 0\big\}$$ и соответствующий ему класс несмещенных оценок для параметра $a$
$$K_0[\mathcal{P}^{(\gamma)}] = \{g:\mathbb{R}\times\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid \mathbf{E}_P [g] = a \text{ для любого } P \in \mathcal{P}^{(\gamma)}\}.$$
Утверждениe 1 (Леман). С учетом введенных обозначений в классе несмещенных оценок $K_0[\mathcal{P}^{(\gamma)}]$ существует оценка $a^{*}_\circ$ с равномерно наименьшей дисперсией (НРД), то есть,
$$\mathbf{D}_{P}[a^{*}_\circ] \leq \mathbf{D}_{P}[g] \text{ для любых } g \in K_0[\mathcal{P}^{(\gamma)}], P\in \mathcal{P}^{(\gamma)},$$
Более того, она выписывается в явном виде
$$a^{*}_\circ(x_1,x_2) = \alpha x_1 + (1-\alpha)x_2,  \quad \alpha = \frac{1}{\gamma + 1}.$$


Задача 2.10 заключалась в доказательстве следующего предложения.

Пусть $\mathcal{P}^{(\geqslant 0)} = \cup_{\gamma}\mathcal{P}^{(\gamma)}$.

Предложение. В классе несмещенных оценок $K_0[\mathcal{P}^{(\geqslant 0)}]$ не существует оценки с НРД.

Ход его доказательства может быть таким. Предположим, что такая оценка $a^*$ существует, то есть,
$$\mathbf{D}_{P}[a^*] \leq \mathbf{D}_{P}[g] \text{ для любых } g \in K_0[\mathcal{P}^{(\geqslant 0)}], P\in \mathcal{P}^{(\geqslant 0)}.$$
Но тогда поскольку для всякого $\gamma\geqslant 0$ выполняются включения $\mathcal{P}^{(\gamma)} \subset \mathcal{P}^{(\geqslant 0)}$, соответственно, $K_0[\mathcal{P}^{(\geqslant 0)}] \subset K_0[\mathcal{P}^{(\gamma)}]$, то она же будет оценкой с НРД и в каждом $K_0[\mathcal{P}^{(\gamma)}]$, а значит, в силу известного факта о единственности такой оценки, она должна будет $[\mathcal{P}^{(\gamma)}]$-почти наверное совпадать с $a^{*}_\circ$. Другими словами, для любого $\gamma$ должно будет выполняться,
$a^*(x_1,x_2) = \alpha x_1 + (1-\alpha)x_2\quad  [\mathcal{P}^{(\gamma)}]$-п.н., что невозможно - слева функция зависит только от $x_1, x_2$, справа еще и от $\gamma$.
Ч.т.д.


Поскольку cемейство AndreyL
$$\mathcal{P}^{\sigma_1, \sigma_2} = \big\{\mathcal{N}(a,\sigma_0^2 + \sigma_1^2)\otimes\mathcal{N}(a,\sigma_0^2 + \sigma_2^2 )\mid a\in\mathbb{R}, \sigma_0 \geq 0\big\}$$ можно представить в виде

$\mathcal{P}^{\sigma_1, \sigma_2} = \cup_{\gamma \in \big(1, \frac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2}\big]}\mathcal{P}^{(\gamma) $ для случая $\sigma_1 < \sigma_2$,
$\mathcal{P}^{\sigma_1, \sigma_2} = \cup_{\gamma \in \big[\frac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2},1\big)}\mathcal{P}^{(\gamma) $ для случая $\sigma_1 > \sigma_2$,

то аналогичные рассуждения должны проходить и для него.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравноточные измерения
Сообщение06.10.2013, 06:22 
Аватара пользователя


21/01/09
3923
Дивногорск
Из полученной выборки ${x_1,...,x_n}$ создадим другую ${x_1-x_2,..., x_{n-1}-x_n}$ с нулевым матожиданием и ско отдельного измерения $2\sigma_0^2+\sigma_i^2+\sigma_0_{i-1}^2$. Найдём нулевое средневзвешенное среднее меняя $\sigma_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравноточные измерения
Сообщение09.10.2013, 22:04 


27/10/09
600
Александрович в сообщении #771270 писал(а):
Из полученной выборки ${x_1,...,x_n}$ создадим другую ${x_1-x_2,..., x_{n-1}-x_n}$ с нулевым матожиданием и ско отдельного измерения $2\sigma_0^2+\sigma_i^2+\sigma_0_{i-1}^2$. Найдём нулевое средневзвешенное среднее меняя $\sigma_0$.
Не совсем понял идею. Вводим новую случайную величину $z_i=x_i-x_{i+1}, i=1...n-1$. Дисперсия $z_i$ в этом случае $2\sigma_0^2+\sigma_i^2+\sigma_0_{i+1}^2$. А дальше что? Менять $\sigma_0^2$ пока средневзвешенное по новой выборке $Z$ не совпадет со средневзвешенным по исходной выборке $X$? Или как-то иначе?

Можно, наверное, задействовав все пары, увеличить объем новой выборки до $\frac{n(n-1)}{2}$, но все равно не понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравноточные измерения
Сообщение10.10.2013, 00:58 
Аватара пользователя


21/01/09
3923
Дивногорск
AndreyL в сообщении #773164 писал(а):
А дальше что? Менять $\sigma_0^2$ пока средневзвешенное по новой выборке $Z$ не совпадет со средневзвешенным по исходной выборке $X$?

Менять пока средневвешенное среднее не станет равной нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравноточные измерения
Сообщение10.10.2013, 07:38 


27/10/09
600
Понятно! Правда и тут иногда возникает ситуация, когда в матрице $z_{ij}=x_i-x_j$ все элементы ниже главной диагонали одного знака - если выборка вдруг оказалась сортированной.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравноточные измерения
Сообщение10.10.2013, 12:53 


23/12/07
1757
AndreyL в сообщении #773164 писал(а):
Вводим новую случайную величину $z_i=x_i-x_{i+1}, i=1...n-1$.


Надеюсь, вы осознаете, что в этом случае $z_i, i=1...n-1$ будут зависимыми случайными величинами, а значит, к ним не могут быть применимы методы классической статистики.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравноточные измерения
Сообщение10.10.2013, 15:22 


27/10/09
600
--mS-- в сообщении #770747 писал(а):
AndreyL в сообщении #770721 писал(а):
Если я правильно Вас понимаю, то при $w_i=\frac{1}{\sigma_i^2} \Big/ \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{\sigma_j^2}$ величина $y_i=\frac{x_i-\hat{a}}{\sigma_i}(1-w_i)$ подчиняется нормальному распределению с центром 0 и стандартом 1.

Нет, Вы неправильно понимаете. Вы выше сформулировали предположение: величина $y_i=\frac{x_i-\hat a}{\sigma_i}$ имеет стандартное нормальное распределение. Это предположение неверно: сосчитайте дисперсию, выделив независимые слагаемые в числителе, и убедитесь, что она не единичная.
Похоже, забыл про дисперсию среднего, а она равна как раз $d_m=1 \Big/ \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{\sigma_j^2}$. Тогда получается, что величина $y_i=\frac{x_i-\hat{a}}{\sqrt{\sigma_i^2+d_m}}$ подчиняется нормальному распределению с центром 0 и стандартом 1. И, соответственно, $\chi^2=\sum_{i=1}^n y_i^2$ подчиняется распределению хи-квадрат с $n-1$ степенями свободы. Или я опять ошибся?

 Профиль  
                  
 
 Re: неравноточные измерения
Сообщение10.10.2013, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
AndreyL в сообщении #773435 писал(а):
Тогда получается, что величина $y_i=\frac{x_i-\hat{a}}{\sqrt{\sigma_i^2+d_m}}$ подчиняется нормальному распределению с центром 0 и стандартом 1.

Разумеется, нет. Ещё раз: сгруппируйте одинаковые слагаемые в числителе и сосчитайте дисперсию.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравноточные измерения
Сообщение11.10.2013, 07:27 


27/10/09
600
Понятно! Посчитал, получается $y_i=\frac{x_i-\hat{a}}{\sigma_i}\frac{1}{1-w_i}$ (если не ошибся). Теперь, правда, не совсем понятно: если статистика $\chi^2=\sum_{i=1}^n y_i^2$ подчиняется распределению хи-квадрат, то как посчитать степени свободы?

 Профиль  
                  
 
 Re: неравноточные измерения
Сообщение11.10.2013, 08:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Разве что $y_i=\frac{x_i-\hat{a}}{\sigma_i}\frac{1}{\sqrt{1-w_i}}$. Иначе дисперсия не единица.

Распределение суммы квадратов таких величин никак не может быть хи-квадрат. Математическое ожидание этой суммы $n$, а дисперсия из-за зависимости меньше $2n$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 132 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group