Образ единицы кольца

[provincialka]

Вспомним исходную задачу:

Alex_CAPS в сообщении #764905 писал(а):

Доброго всем времени суток!
Решаю следующую задачу:
Пусть $A$ и $B$ - кольца с единицей. $\varphi: A \to B$ - гомоморфизм. При каких условиях образ единицы кольца $A$ является единицей кольца $B$?

-- 18.09.2013, 00:04 --

Первая мысль: если отображение является изоморфизмом, то единица отобразится в единицу.

Немного расплывчато, конечно, мало ли что можно считать "условием". Например, сам факт отображения единицы в единицу тоже накладывает условие и оно само из себя следует.

В качестве другого варианта повторю то, что уже предлагала: "Единица кольца $B$ входит в образ $f(A)$".

[bot]

provincialka в сообщении #765344 писал(а):

Вспомним исходную задачу

(Оффтоп)

Опа, когда я отвечал в первый раз, единиц ещё не было. Впрочем это не повлияло бы на ответ. Так или иначе надо потребовать, чтобы образ единицы был единицей всего кольца.

[Barabashka]

1. Пусть $aa^{-1}=e, \forall a \in A$
2. $f(e)=f(aa^{-1})=f(a)f(a^{-1}), \forall a \in A \Rightarrow bb'=f(e), \forall b \in B f(e)$ - единица. $b$, $b'$ - обратные элементы.

Тогда единица кольца содержится в подкольце и дургой единицы быть не может.

Тогда и $A$, и $B$ - должны иметь обратные элементы относительно едининцы.

[bot]

bot в сообщении #765331 писал(а):

В кольце даже с единицей не обязаны существовать обратимые элементы, кроме как для $\pm 1$.

-- Чт сен 19, 2013 18:29:57 --

Barabashka в сообщении #765369 писал(а):

Пусть $aa^{-1}=e, \forall a \in A$

И для $0$ тоже?

[Alex_CAPS]

bot в сообщении #765374 писал(а):

Пусть $aa^{-1}=e, \forall a \in A$

Это уже полем называется, а у нас - кольца, и с ними делать ничего не надо. А вот накладывать какие-то условия на отображение.

-- 19.09.2013, 15:11 --

Barabashka в сообщении #764970 писал(а):

Наверное, отображение должно быть суръективным.

Меня заинтересовала эта мысль. Что если мы потребуем, чтобы гомоморфизм был сюръективным. В этом случае элемент $1_B$ точно будет иметь прообраз в $A$, но будет ли этот прообраз единицей в $A$?

[Barabashka]

Да для $A\diagdown0$.

Я думаю множество с определенными операциями называется кольцом, если аксиомы кольца в нем есть, но это не означает, что оно не должно содержать плюс еще какие-либо свойства (аксиомы).

Что касается условий отображения, я даже не знаю. Накладывает, отпечаток на отбражение, тот факт, что элеметы двух колец состоят из элементов (под-...под-элментов) одной природы? Не заня их природу можно ли определить физический способ отображения отного элемента в другой?

Мы ведь рассматриваем абсолютно абстрактное понятие кольца.

Касательно последнего вашего сообщения. В ходе решения (еще идет) мысль сформировалась так. Гомоморфизм обязывает образ быть кольцом с единицей, т.е. есть элемент образа ведущий себя как единица, а раз он себя так ведет, то он единица. Так как образ совпадает с кольцом, а в этом кольце нет другого элемента кроме единицы кольца, ведущего себя как единица, то обрза единицы кольца прообраза получается должен быть кольцом единицы.

Но нигде не сказано, что образ должен совпадать со всем кольцом. Тогда получается, что есть подкольцо(образ) во всем кольце и у этого подкольца есть единица. Является ли эта единица - единицей всего кольца? Необязательно. Тогда возникает вопрос, а что обязывает подкольцо имет в качестве своей единицы - единицу всего кольца. Ничего мне кроме $aa^{-1}=1_B$ мне не пришло. Возникает вопрос (из примера), а действительно ли образ $f(A)$ в кольце $B$ является подкольцом с обратными элементами. Не обязательно. Тогда, что обязывает образ иметь обратные элементы, видимо, наличие обратных элементов относительно умножения в кольце $A$.

Больше пока ничего в голову не приходит.

[provincialka]

По-моему, не стоит направлять усилия в сторону обратных элементов. Вам ведь надо, как я понимаю, придумать какое-то необходимое и достаточное условие в общем случае? Ну, а обратимые элементы - сильно частный случай, там уже пахнет полями и телами!

(Оффтоп)

такие тела на полях, и все пахнут

Чем вам мой ответ не нравится? Слишком простой?

Barabashka в сообщении #765490 писал(а):

Что касается условий отображения, я даже не знаю. Накладывает отпечаток на отображение тот факт, что элементы двух колец состоят из элементов (под-...под-элементов) одной природы? Не зная их природу можно ли определить физический способ отображения одного элемента в другой?

А вот это лучше сотрите. Я, кстати, поправила грамматические ошибки.

Может, вы нам не все сказали? Может, у вас какое-то конкретное кольцо "с под-элементами" (из множеств, что ли?)

-- 19.09.2013, 20:36 --

Barabashka в сообщении #765490 писал(а):

Касательно последнего вашего сообщения. В ходе решения (еще идет) мысль сформировалась так. Гомоморфизм обязывает образ быть кольцом с единицей, т.е. есть элемент образа ведущий себя как единица, а раз он себя так ведет, то он единица. Так как образ совпадает с кольцом, а в этом кольце нет другого элемента кроме единицы кольца, ведущего себя как единица, то обрза единицы кольца прообраза получается должен быть кольцом единицы.

Тут вообще ничего не понятно. Что такое "кольцо единицы"?

[Alex_CAPS]

Barabashka в сообщении #765490 писал(а):

Но нигде не сказано, что образ должен совпадать со всем кольцом.

Так мы можем сказать, что совпадает. При сюръективном отображении у $1_B$ точно будет прообраз. Кроме того, гомоморфный образ кольца является кольцом, а при сюръективизме должен совпадать с $B$.

А при таком условии можно ли отобразить $1_A$ во что-нибудь кроме $1_B$ и оставить образ кольцом? Я считаю, что нет.

[provincialka]

Alex_CAPS в сообщении #765380 писал(а):

Меня заинтересовала эта мысль. Что если мы потребуем, чтобы гомоморфизм был сюръективным. В этом случае элемент $1_B$ точно будет иметь прообраз в $A$, но будет ли этот прообраз единицей в $A$?

Ну, если прообраз единственный - то единица (так как образ единицы точно единица). Но если отображение не инъективно, могут быть и другие прообразы. Для каждого $e$ такого, что $f(e)=1_B$ имеем $\forall x f(ex)=f(x)$. Например, можно отобразить кольцо вычетов по модулю 6 в кольцо (поле) вычетов по модулю 3, прообразом единицы будут 1 и 4.

[Alex_CAPS]

provincialka в сообщении #765516 писал(а):

Но если отображение не инъективно, могут быть и другие прообразы.

Если я правильно понимаю условие задачи, необходимо найти условие, при котором $\varphi(1_A) = 1_B$. А наличие других прообразов этому не противоречит.

[provincialka]

Alex_CAPS в сообщении #765522 писал(а):

provincialka в сообщении #765516 писал(а):

Но если отображение не инъективно, могут быть и другие прообразы.

Если я правильно понимаю условие задачи, необходимо найти условие, при котором $\varphi(1_A) = 1_B$. А наличие других прообразов этому не противоречит.

Так это задача ТС-а. А вы говорили о другой задаче, о прообразе, на нее я вам и ответила. А ТС-у ответила отдельно.

Вообще, мне кажется, вопрос уже исчерпан.

[Alex_CAPS]

provincialka в сообщении #765530 писал(а):

Вообще, мне кажется, вопрос уже исчерпан.

Абсолютно с Вами согласен. И благодарен всем участникам.

[provincialka]

А , Alex_CAPS и есть ТС! Там еще Barabashka встрял, я перепутала.