2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Правда трудная задачка? (пирамида и шар)
Сообщение13.09.2013, 00:22 
Аватара пользователя


22/09/09

1907
Наконец-то прочитал великую книгу: Математики тоже шутят / Автор-сост. С. Н. Федин. Изд. 2-е, испр. и доп. — М: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. Очень, нпр., позабавило: $\sin [n!]=0$, при целом $n>5$ и в градусах (никогда не задумывался об этом прежде!) :D Но вопрос про С. 145.:
Цитата:
Случилось так, что соратник Ландау и его соавтор по десятитомному курсу по теоретической физике академик Евгений Михайлович Лифшиц (1915-1985) в 1959 году помогал выпускнику школы Боре Горобцу готовиться к поступлению в один из ведущих физических вузов Москвы. На письменном экзамене по математике в Московском физико-математическом институте предлагалась следующая задача: «В основании пирамиды $SABC$ лежит прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$, $\angle C = 90^{\circ} $, $AB = l$. Боковые грани образуют с плоскостью основания двугранные углы $\alpha , \beta , \gamma$. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара». Будущий профессор не справился тогда с задачей, но запомнил ее условие и позже сообщил Евгению Михайловичу. Тот, повозившись с задачей в присутствии ученика, не смог решить ее сходу и забрал с собой домой, а вечером позвонил и сообщил, что, не одолев ее в течение часа, предложил эту задачу Льву Давидовичу. Ландау обожал решать задачи, вызывавшие затруднения у других. Вскоре он перезвонил Лифшицу и, довольный, сказал: Задачу решил. Решал ровно час. Позвонил Зельдовичу, теперь решает он. (Поясним: Яков Борисович Зельдович (1914-1987) — известный ученый, считавший себя учеником Ландау, был в те годы главным физиком-теоретиком в сверхсекретном Советском Атомном проекте (о чем, конечно, тогда мало кто знал). Примерно через час Е. М. Лифшиц позвонил снова и сообщил: только что ему позвонил Зельдович и не без гордости сказал: „Решил я вашу задачу. За сорок минут решил!").
С окончания школы в 1975 г. не пришлось решать таких задачек (позабыл уже "детали навыка" :-( Занимаюсь теорией графов, а там сплошная топология, если без визуализации :-) ), но когда-то мы такие быстро решали (у нас была физмат школа). Кто не забыл: скажите трудная ли это задачка, а лучше с кратким решением - ИМХО, задачка простая, и я не понял почему Зубры столько думали. Или тут подводные камни? (А м.б. Зубры, как и я, школьную геометрию подзабыли? ;-) )
PS В сетке и на нашем форуме много похожих задачек, м.б. я не нашел - дайте ссылку, pls.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правда трудная задачка? (пирамида и шар)
Сообщение13.09.2013, 00:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Уже ночь, решение писать не буду. Читала по эту историю, у меня задача заняла не более 5 минут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правда трудная задачка? (пирамида и шар)
Сообщение13.09.2013, 00:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
На глаз что-то вроде $l\over\sqrt2\ctg{\alpha\over2}+\sqrt2\ctg{\beta\over2}+2\ctg{\gamma\over2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Правда трудная задачка? (пирамида и шар)
Сообщение13.09.2013, 00:49 
Аватара пользователя


22/09/09

1907
provincialka в сообщении #763362 писал(а):
Уже ночь, решение писать не буду. Читала по эту историю, у меня задача заняла не более 5 минут.
Спасибо provinci(Алка)! Вы вернули мне веру в человечество! :-)

(Оффтоп)

Простите, если неудачно пошутил с Вашим ником

 Профиль  
                  
 
 Re: Правда трудная задачка? (пирамида и шар)
Сообщение13.09.2013, 01:00 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
provincialka в сообщении #763362 писал(а):
у меня задача заняла не более 5 минут.
Аналогично - минуты 2-3. Не засёк с точностью до минуты, т.к. думал, что это не важно.

-- Чт сен 12, 2013 18:02:06 --

ИСН в сообщении #763365 писал(а):
На глаз что-то вроде $l\over\sqrt2\ctg{\alpha\over2}+\sqrt2\ctg{\beta\over2}+2\ctg{\gamma\over2}$
Именно так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правда трудная задачка? (пирамида и шар)
Сообщение13.09.2013, 01:03 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
Кажется, равнобедренность тут не так важна, а вот без прямоугольности задача уже перестает быть устной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правда трудная задачка? (пирамида и шар)
Сообщение13.09.2013, 06:40 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 ! 
bin в сообщении #763367 писал(а):
Спасибо provinci(Алка)! Вы вернули мне веру в человечество! :-)
bin, замечание за искажение и обсуждение ника собеседника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правда трудная задачка? (пирамида и шар)
Сообщение16.09.2013, 10:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
(поправляя фуражку прапорщика Ясненько, старшины роты капитана Очевидность):
Заметка из сборника математических шуток. Задача сама по себе не шуточная, ни в смысле какого-то парадокса, ни в смысле шуточной формы изложения. Нормальная задача "для поступающих", не на "озарение", а на регулярную работу.
Стало быть, шутка в чём-то ином. В том, что трое достаточно сильных математиков не справились с работой, рассчитанной на старательного школьника? Наверно, в этом, но этого явно мало. Возможно, кроме насмешки над тремя несправившимися мудрецами, есть и серьёзная мысль, каковые встречаются в шутках высшего уровня? И, пожалуй, она в том, что, заранее оценив задачу, как сверхсложную, и выбирая поэтому сложный путь решения, создаёшь трудности самому себе...

 Профиль  
                  
 
 Re: Правда трудная задачка? (пирамида и шар)
Сообщение16.09.2013, 15:06 
Аватара пользователя


22/09/09

1907
Евгений Машеров
В книге эта заметка озаглавлена "Как академики задачу решали" и помещена в раздел "Забавные формулы, теоремы, задачи..." Правила Форума рекомендуют:
Цитата:
3. Описать общий ход решения, опустив технические детали, которые автор вопроса может восстановить самостоятельно.
Не могли бы Вы это сделать: кратко описать простой и сложный ход решения? Тогда будет понятен смысл "шутки высшего уровня". Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правда трудная задачка? (пирамида и шар)
Сообщение16.09.2013, 16:28 


10/02/11
6786
bin в сообщении #763357 писал(а):
«В основании пирамиды $SABC$ лежит прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$, $\angle C = 90^{\circ} $, $AB = l$. Боковые грани образуют с плоскостью основания двугранные углы $\alpha , \beta , \gamma$. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара»


Введем прямоугольную декартову систему координат с началом в точке $C$ и осями $X,Y$ проходящими через катеты треугольника. Ось $Z$ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
Уравнения биссекторных плоскостей для углов $\alpha , \beta , \gamma$ выписываются на раз. Остается только найти координаты центра вписанной сферы из системы линейных уравнений.

-- Пн сен 16, 2013 17:02:04 --

bin в сообщении #763357 писал(а):
понял почему Зубры столько думали

скореевсего, это просто сказки

 Профиль  
                  
 
 Re: Правда трудная задачка? (пирамида и шар)
Сообщение16.09.2013, 17:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Можно определить координаты четвёртой вершины, а потом найти объём пирамиди и площади всех граней через векторные произведения. И разделить три объёма на площадь поверхности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правда трудная задачка? (пирамида и шар)
Сообщение16.09.2013, 17:12 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
Oleg Zubelevich в сообщении #764399 писал(а):
Введем прямоугольную декартову систему координат с началом в точке $C$ и осями $X,Y$ проходящими через катеты треугольника. Ось $Z$ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
Уравнения биссекторных плоскостей для углов $\alpha , \beta , \gamma$ выписываются на раз. Остается только найти координаты центра вписанной сферы из системы линейных уравнений.
Введем описанным Вами образом систему координат на плоскости $ABC$ и рассмотрим проекцию пирамиды на эту плоскость. Обозначим искомый радиус шара $r$. Тогда проекция центра шара имеет координаты $(r\ctg\frac{\alpha}{2}, r\ctg\frac{\beta}{2})$ и лежит на прямой $x\tg\angle BAC+y=l\sin\angle BAC-\frac{r\ctg\frac{\gamma}{2}}{\cos\angle BAC}$.
Oleg Zubelevich в сообщении #764399 писал(а):
bin в сообщении #763357 писал(а):
понял почему Зубры столько думали

скореевсего, это просто сказки
Наверняка. Однако теперь я понял, как эту задачу можно решать целый час. :-)
Upd: поправил уравнение прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правда трудная задачка? (пирамида и шар)
Сообщение16.09.2013, 17:40 


10/02/11
6786
Целый час на систему трех линейных уравнений? :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Правда трудная задачка? (пирамида и шар)
Сообщение16.09.2013, 18:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Моя идея решения такова. Пусть $O$ - центр описанного шара, $D$ - проекция этой точки на плоскость $ABC$; $A_1,\ B_1,\ C_1$ - проекции точки $D$ на стороны $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно. Плоскость $DA_1O$ перпендикулярна плоскостям $ABC$ и $SBC$, поэтому точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\alpha$ и, стало быть, $DA_1=r \ctg \frac {\alpha} 2$, где $r=OD$ - искомый радиус вписанного шара. Аналогично можно найти $DB_1$ и $DC_1$. Длины сторон треугольника $ABC$ мы знаем. Значит можно двумя способами посчитать площадь этого треугольника: как $\frac {BC \cdot CA} 2$, а также как сумму площадей треугольников $ABD$, $BCD$ и $CAD$. Приравнять и получить $r$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правда трудная задачка? (пирамида и шар)
Сообщение16.09.2013, 21:57 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
Oleg Zubelevich
Dave в сообщении #764437 писал(а):
Целый час на систему трех линейных уравнений? :mrgreen:
Да нет, конечно. Но по сравнению с одним линейным уравнением система все-таки проигрывает. Лично на меня уже системы из двух уравнений наводят тоску. Хотя Ваш способ, конечно, обладает достаточно очевидными достатками.
Тут я мог бы еще заметить, что имел в виду не только Ваш способ, но не буду. :-)

Dave
Dave в сообщении #764437 писал(а):
Моя идея решения такова.
Вот так даже лучше, спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group