2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Двугранный угол в треугольной пирамиде
Сообщение07.09.2013, 13:54 
Аватара пользователя


28/07/10
124
Подскажите, двугранный угол $\alpha=\angle(ABC,ABD)$ в треугольной пирамиде $ABCD$?
Внутренний угол между гранями $ABC,ABD$.
Знаю, что нужно использовать формулу

\[\alpha = \arccos\frac{\pm|\langle \overrightarrow{N}_{\!\!{}_{ABC}}, \overrightarrow{N}_{\!\!{}_{ABD}}\rangle|}{|\overrightarrow{N}_{\!\!{}_{ABC}}|\cdot |\overrightarrow{N}_{\!\!{}_{ABD}}|}\[, где $\overrightarrow{N}_{\!\!{}_{ABC}}, \overrightarrow{N}_{\!\!{}_{ABD}}$ - направляющие векторы уравнений плоскостей граней $ABC,ABD$ соответственно.

Не понимаю, как при вычислении выбирать знак ( $+$ или $-$ ) :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Двугранный угол в треугольной пирамиде
Сообщение07.09.2013, 14:02 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Выбор знака -- это выбор согласованной пары нормальных векторов (любой из двух). Т.е. одна из нормалей должна быть внешней, другая -- внутренней. Аналитически это означает, например, что при нахождении нормалей с помощью векторных произведений в обоих случаях первым сомножителем должно быть общее ребро, а вторыми сомножителями -- рёбра, выходящие из общей вершины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двугранный угол в треугольной пирамиде
Сообщение07.09.2013, 14:13 
Аватара пользователя


28/07/10
124
К примеру, известны уравнения плоскостей граней

$ABC\colon\, 9x+2x+5z-10=0,\qquad ABD\colon\, x+z=0$

и вершины $C(4,2,-6),~ D(0,0,0)$ ребра $CD$, не принадлежащего граням $ABC,ABD$.

Как в этом случае определить знак?
Какой алгоритм?

 Профиль  
                  
 
 Re: Двугранный угол в треугольной пирамиде
Сообщение07.09.2013, 14:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Найдите любой направляющий вектор $\vec v$ прямой $AB$ и любую точку $A$ на этой прямой, после чего возьмите $\vec n_1=\vec v\times\overrightarrow{AC}$ и $\vec n_2=\vec v\times\overrightarrow{AD}$, тогда будет $\cos\alpha=+\dfrac{\vec n_1\cdot\vec n_2}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|}$ (хотя при желании можно обойтись, конечно, и без векторных произведений).

 Профиль  
                  
 
 Re: Двугранный угол в треугольной пирамиде
Сообщение07.09.2013, 14:31 
Аватара пользователя


28/07/10
124
Нашел пример без векторных произведений: здесь (Пример 4.12).

Мне не понятно, когда там точку $N$ (середина ребра $OC$) подставляли в уравнения граней $ABC,\,OAB$, почему выбора "минуса" подошли именно знаки $<$.
Это всегда так, если определять знак в формуле по их алгоритму?

 Профиль  
                  
 
 Re: Двугранный угол в треугольной пирамиде
Сообщение07.09.2013, 20:51 
Аватара пользователя


28/07/10
124
ewert в сообщении #761357 писал(а):
Найдите любой направляющий вектор $\vec v$ прямой $AB$ и любую точку $A$ на этой прямой, после чего возьмите $\vec n_1=\vec v\times\overrightarrow{AC}$ и $\vec n_2=\vec v\times\overrightarrow{AD}$, тогда будет $\cos\alpha=+\dfrac{\vec n_1\cdot\vec n_2}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|}$ (хотя при желании можно обойтись, конечно, и без векторных произведений).

Дошло наконец до меня :-)

Большое спасибо за алгоритм, программа пашет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group