Задача о 4-х кубах. 4-х параметрическое решение

[korolev]

Конечно, о примитивных четверках речи не идет. Я получаю их сокращением на НОД. Уже это огромное достижение! За много лет исследований такое вижу впервые. Если я где-то не напортачил в программе (после все проверю в Maple), то обязательно сниму перед Вами шляпу. Очень хотелось бы увидеть подробный вывод формул: я бы и Вас в книге прославил, и сама книга классно бы завершилась.

Размах от -15 до 15. Ваша структура дает уже 330 решений из 340. Сейчас рассматриваю -18 .. +18. Предполагаю, что при -20 .. +20 будет 100%.

[tolstopuz]

korolev в сообщении #769669 писал(а):

Предполагаю, что при -20 .. +20 будет 100%.

Нет, надо 28. Последними уходят (12, 238, 315, 355) и (260, 369, 375, 494).

[korolev]

Как Вы считали? Мой способ целые сутки требует на выдачу результатов. Коротко словами объясните. Хочется побыстрее начать прыгать от счастья.
И еще: не могли бы дать файл с минимальными ( по абсолютной величине) значениями a,b,c,d для всех 340 вариантов? Не хочется тратить время на повтор вслед за Вами.

[korolev]

Завершил расчеты. Спасибо за подсказку насчет 28. Я остановился на 18, не хватало трех вариантов до 340. Их легко нашел. Два варианта, что Вы отметили, совпали, добавился 89, 231, 456, 476 (начинает проявляться при n=26) и уже эти три варианта быстро проверил.
Итак, впервые мной обнаружены на данном форуме, в данной теме (пост 1) формулы Коровьева, которые выдают абсолютно все варианты в заданном мной довольно большом интервале четверок Эйлера. Это без преувеличения прорыв в теории чисел! В Википедии есть аналогичная система, но она рекуррентная. Система Коровьева еще прекрасна тем, что в ней присутствует только один коэффициент 3. Это логично, так как выражения кубические. Никакая другая система этим похвастаться не может. Почти все великие математики, предлагавшие свои варианты, говорили с сожалением, что их детище не охватывает всего поля чисел. Да я и сам исследовал их бесконечные серии и тоже в этом убеждался. Система Коровьева отличается от остальных еще и тем, что количество параметров наибольшее, а именно 4. Почему четыре - пупком еще не чувствую. Казалось бы, логично иметь три параметра a, b, c (ведь в уравнениях Пифагора два параметра). Вполне возможно, что можно без ущерба понизить количество до трех. Я попытался, но ничего не вышло...
Какое же тут внезапно нашлось неожиданное открытие!!! Остается только дописать книгу, уехать в Париж и там сначала немного пожить


PS. Не проверил еще систему для случаев, когда x отрицательный.

[korolev]

Проверил систему Коровьева при отрицательном значении x. Всё работает!

[Коровьев]

Во первых, огромное спасибо Вам korolev за проверку предложенной системы. Я бы ни за что не собрался бы проверять, да и комп не потянул бы.
Что касаемо

korolev в сообщении #769851 писал(а):

Это без преувеличения прорыв в теории чисел!

то это как раз и есть сильное преувеличение, даже очень. Путь доказательства стандартный - разложение на множители в рамках теории алгебраических чисел + однозначность разложения в кольце $\mathbb{R}( - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2})$ - ничего нового.
Во вторых, утверждать что это в первые, пока очень мало оснований. Вывод очень прост, не требует серьёзных математических знаний, задача не столь популярна, чтобы заинтересовать даже ферматиков, а рынок публикаций огромен, отследить в нём нужный материал большая проблема.
Ну и в третьих, у меня ещё не рассмотрен "смешанный" вариант (См. ранее). Там появляется ещё + пара независимых переменных (Ужас! ). Итого 6! Многовато будет.
Ещё раз, спасибо Вам korolev за проделанную работу. Можете смело включить этот материал в свою книгу со ссылкой источника, как данный форум dxdy

[korolev]

Спасибо, дружище! Но поймите меня правильно. Книга чрезвычайно популярная, уровень школы. Она красочно иллюстрирована, каждый математик кратко описан: приведена портретная фотка, немного биографии и основные достижения в области теории чисел. По теме, о которой идет тут речь, выделены такие блистательные гении, как Эйлер, Рамануджан, Харди, Морделл и другие. Они дали оригинальные формулы, но очень частные. Вы же дали самую великолепную систему и я должен ограничиться всего лишь ссылкой на dxdy? Но о самом авторе при этом - ни слова? Да меня же заклюют, обвинят в плагиате и т.д и т.п. Поэтому просьба: если есть в инете Ваш сайт или дневник, где ваша фотка, хоть пара абзацев о творчестве, дайте уж ссылочку. Не верю, что таких нужных вещей нет. Конечно же всякое бывает. Тогда уж попрошу написать в [e-mail]
Очень надеюсь!
PS. Фамилия настоящая тут, или же это просто Ваш ник?

[tolstopuz]

korolev в сообщении #769851 писал(а):

Казалось бы, логично иметь три параметра a, b, c (ведь в уравнениях Пифагора два параметра). Вполне возможно, что можно без ущерба понизить количество до трех.

Есть формулы с тремя параметрами (Hardy&Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, стр. 200), дающие все рациональные решения при подстановке рациональных значений параметров. Проблема в том, что для получения всех целых решений тоже временами приходится подставлять рациональные значения параметров.

[korolev]

tolstopuz
А здесь привести формулы не сможете? Или они есть то же самое, что и в Википедии?
Нет, в Вики только два параметра. Как же мне посмотреть их общее решение?

-- 02.10.2013, 15:48 --

Эти страницы?






Но это мне знакомо - они привели формулы Эйлера и Бине. Довольно частные решения.

[korolev]

Провел исследование системы Эйлера и Бине: из $340$ решений она дает только $25$ примитивных четверок Эйлера. При этом $n>7$.

Вот эти решения и некоторые $a$ и $b$

1 1 6 8 9 -> -2 -1|-2 1|
2 1 71 138 144 -> 3 -1|3 1|
3 3 4 5 6 -> 0 -1|0 1|1 -1|1 1|
4 3 34 114 115 -> -5 -2|-5 2|
5 4 17 22 25 -> 2 -1|2 1|
6 5 86 460 461 -> -8 -3|-8 3|
7 7 14 17 20 -> -1 -1|-1 1|
8 11 15 27 29 -> 1 -2|1 2|
9 12 19 53 54 -> -2 -3|-2 3|
10 12 31 102 103 -> 4 -3|4 3|
11 16 23 41 44 -> -1 -2|-1 2|
12 16 47 108 111 -> 3 -2|3 2|
13 19 93 258 262 -> 4 -2|4 2|
14 21 43 84 88 -> -2 -2|-2 2|
15 23 81 300 302 -> -5 -3|-5 3|
16 25 31 86 88 -> 1 -3|1 3|
17 31 95 219 225 -> -3 -2|-3 2|
18 45 53 199 201 -> 1 -4|1 4|
19 48 85 491 492 -> -5 -6|-5 6|
20 64 107 405 408 -> -3 -4|-3 4|
21 65 127 248 260 -> 2 -2|2 2|
22 71 73 138 150 -> 0 -2|0 2|
23 71 81 384 386 -> 1 -5|1 5|
24 109 170 475 484 -> 2 -3|2 3|
25 121 122 360 369 -> 0 -3|0 3|

[Deggial]

korolev, все формулы и термы оформляйте $\TeX$ом, или я снесу последний пост в Карантин. Либо пользуйтесь тегом code. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).

Пока поправил сам

[korolev]

Deggial
Хорошо. Буду осваивать. LaTex знаю прекрасно, вот code не догадался . Больше не буду - честное слово.

[tolstopuz]

korolev в сообщении #769980 писал(а):

Эти страницы?

Да. Формулы (13.7.8) - общее решение в рациональных числах. Если нужны целые решения, фактически достаточно перебирать три целых числа $p$, $q$ и $r$ и подставлять в формулу из книги дроби $a=\frac p r$ и $b=\frac q r$, а $\lambda=1$. Получившиеся четыре числа надо умножить на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей.

Например, при $p=10, q=-7, r=19$:

$$a = \frac{10}{19}, b = -\frac{7}{19}$$

$$x=1-(a-3b)(a^2+3b^2)=\frac{42}{361}$$

$$y=(a+3b)(a^2+3b^2)-1=-\frac{504}{361}$$

$$u=(a+3b)-(a^2+3b^2)^2=-\frac{378}{361}$$

$$v=(a^2+3b^2)^2-(a-3b)=-\frac{420}{361}$$

Домножая на знаменатель $361$ и сокращая на общий множитель $-42$, получаем известное решение $-1^3+9^3+10^3=12^3$.

Можно написать и явные формулы с тремя целочисленными параметрами:

$$x=r^4-r(p-3q)(p^2+3q^2), y=r(p+3q)(p^2+3q^2)-r^4, u=(p^2+3q^2)^2-r^3(p+3q), v=r^3(p-3q)-(p^2+3q^2)^2$$

Если сокращать результаты на общий множитель, получатся все примитивные решения.

Я сделал перебор от $-200$ до $200$, из вашего списка не покрывается $5$ четверок:

(Оффтоп)

(6, 179, 216, 251)
(8, 229, 236, 293)
(18, 193, 423, 436)
(89, 231, 456, 476)
(260, 369, 375, 494)

Судя по размеру чисел, почти очевидно, что с увеличением границы все получится.

[korolev]

Класс! Спасибо огромное, tolstopuz! Столько событий в один день!
Буду изучать последнюю трехпараметрическую систему...

[korolev]

У Вас, по-видимому, опечатка. Я так вывел:

$x^3+y^3+z^3=w^3$

$x=a^4-a(b-3c) \big ( b^2+3c^2 \big ) $

$y=-a^4+a(b+3c) \big ( b^2+3c^2 \big )$

$z=-a^3(b+3c)+\big ( b^2+3c^2 \big )^2$

$w=-a^3(b-3c)+\big ( b^2+3c^2 \big )^2$

Неполнота системы, видимо, обусловлена наличием недостаточного числа параметров. Должно быть четыре, как мне кажется. Такая же недостаточность наблюдалась, когда я пытался упростить систему Коровьева.
Только четыре параметра (как минимум!) дают все 340. Кроме того, Коровьев даже в этом сомневается и хочет доводить систему до 6 параметров. А вообще неплохо бы математически строго доказать: сколько же должно быть параметров?